Calcule as seguintes integrais indefinidas:
m) integral z^3raiz[4]1+z^4 d z

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida
integral z^3raiz[4]1+z^4,dz
Esse exercício cai em técnicas de substituição em integrais de funções compostas, pois temos uma expressão do tipo (1+z^4) elevada a uma potência e a presença de z^3 no numerador.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a substituição
u = 1 + z^4
Então calculamos a diferencial de u:
du = 4z^3,dz Longrightarrow z^3,dz = du4

Passo 3

Reescrevemos a integral original em função de u. Note que raiz[4]1+z^4 = u^1/4, então:
integral z^3(1+z^4)^-1/4,dz = integral u^-1/4 cdot du4 = 14integral u^-1/4,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^-1/4:
integral u^alpha,du = u^alpha+1alpha+1+C,
com alpha = -tfrac14. Assim:
14integral u^-1/4,du = 14cdot u^-1/4+1-1/4+1 + C = 14cdot u^3/43/4+C = 13u^3/4+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável z substituindo u = 1+z^4:
13(1+z^4)^3/4 + C

Resposta

13(1+z^4)^3/4 + C

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