Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da integração por partes.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a seguinte integral indefinida usando o método da integração por partes:
Vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral vamos chamar de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossas funções para a integração por partes. Uma boa estratégia é escolher
de forma que sua derivada
seja mais simples. Vamos escolher:
Então, precisamos encontrar
. Para isso, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora, vamos identificar
. Pela integração por partes, temos:
Mas no nosso caso, para facilitar, vamos reorganizar a integral original. Observamos que:
Isso simplifica para:
Passo 4
A segunda integral,
, é simplesmente
. Então, temos:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos agora focar na integral que ficou:
. Para resolver isso, podemos tentar uma substituição simples. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Rearranjando, temos:
Mas esse passo não simplifica muito a integral, então percebemos que não conseguimos expressar
de forma direta. Isso indica que a integral pode não ter uma expressão em termos de funções elementares.
Passo 6
Dado que a integral
não se resolve facilmente com métodos elementares, concluímos que a integral original pode ser expressa em termos da própria integral, levando a uma relação onde ambas as integrais dependem uma da outra. Portanto, não há uma solução fechada simples para essa integral usando métodos básicos de integração por partes.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares usando a técnica de integração por partes, e sua solução envolve uma relação recursiva que não se resolve de maneira direta.