Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da integração por partes.
integral x^2(cos x+x sen x)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a seguinte integral indefinida usando o método da integração por partes:
integral x^2(cos x + x sin x)^2 , dx
Vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral vamos chamar de u e dv .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossas funções para a integração por partes. Uma boa estratégia é escolher u de forma que sua derivada du seja mais simples. Vamos escolher:
u = xcos x + x sin x
Então, precisamos encontrar du . Para isso, vamos usar a regra do quociente:
du = (cos x + x sin x) cdot 1 - x cdot (-sin x + sin x + x cos x)(cos x + x sin x)^2 , dx
Simplificando o numerador:
du = cos x + x sin x - x^2 cos x(cos x + x sin x)^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos identificar dv . Pela integração por partes, temos:
integral u , dv = u v - integral v , du
Mas no nosso caso, para facilitar, vamos reorganizar a integral original. Observamos que:
integral x^2(cos x + x sin x)^2 , dx = integral ( cos x + x sin x(cos x + x sin x)^2 ) dx - integral ( cos x + x sin x - x^2 cos x(cos x + x sin x)^2 ) dx
Isso simplifica para:
integral 1cos x + x sin x , dx - integral dudx , dx

Passo 4

A segunda integral, integral dudx , dx , é simplesmente u + C . Então, temos:
integral x^2(cos x + x sin x)^2 , dx = integral 1cos x + x sin x , dx - u + C
Substituindo u :
integral x^2(cos x + x sin x)^2 , dx = integral 1cos x + x sin x , dx - xcos x + x sin x + C

Passo 5

Vamos agora focar na integral que ficou: integral 1cos x + x sin x , dx . Para resolver isso, podemos tentar uma substituição simples. Vamos definir:
t = cos x + x sin x
Então, derivando ambos os lados em relação a x :
dt = -sin x , dx + sin x , dx + x cos x , dx = x cos x , dx
Rearranjando, temos:
dx = dtx cos x
Mas esse passo não simplifica muito a integral, então percebemos que não conseguimos expressar integral 1t , dx de forma direta. Isso indica que a integral pode não ter uma expressão em termos de funções elementares.

Passo 6

Dado que a integral integral 1cos x + x sin x , dx não se resolve facilmente com métodos elementares, concluímos que a integral original pode ser expressa em termos da própria integral, levando a uma relação onde ambas as integrais dependem uma da outra. Portanto, não há uma solução fechada simples para essa integral usando métodos básicos de integração por partes.

Resposta

A integral integral x^2(cos x + x sin x)^2 , dx não pode ser expressa em termos de funções elementares usando a técnica de integração por partes, e sua solução envolve uma relação recursiva que não se resolve de maneira direta.

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