Considere o campo vetorial
definido por
. Calcule o fluxo de
através da esfera de raio unitário, centrada na origem, cuja normal no ponto
tem a segunda componente positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da esfera de raio unitário centrada na origem, com orientação tal que a normal no ponto tenha componente
positiva.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss). Vamos precisar calcular a divergência de e usar o volume da bola de raio 1.
através da esfera de raio unitário centrada na origem, com orientação tal que a normal no ponto
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss). Vamos precisar calcular a divergência de
Passo 2
Calcular a divergência de
. Por definição,
As derivadas são
logo
Passo 3
Pelo Teorema da divergência, o fluxo de
através da superfície fechada
é
onde
é o volume da bola de raio 1.
Passo 4
Substituindo
, tem-se
O volume de uma bola de raio
em
é
. Portanto
Resposta
O fluxo pedido é
.