Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 definido por F(x, y, z)=(x-y, x+y, z). Calcule o fluxo de F através da esfera de raio unitário, centrada na origem, cuja normal no ponto (0,1,0) tem a segunda componente positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (x - y,;x + y,;z)
através da esfera de raio unitário centrada na origem, com orientação tal que a normal no ponto (0,1,0) tenha componente y positiva.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss). Vamos precisar calcular a divergência de F e usar o volume da bola de raio 1.

Passo 2

Calcular a divergência de F. Por definição,
div,F = partialpartial x(x - y) + partialpartial y(x + y) + partialpartial z(z)
As derivadas são
partialpartial x(x - y) = 1, partialpartial y(x + y) = 1, partialpartial z(z) = 1,
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div,F = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Pelo Teorema da divergência, o fluxo de F através da superfície fechada S é
integral duplaSFcdot n,dS = integral triplaV!div,F,dV,
onde V é o volume da bola de raio 1.

Passo 4

Substituindo div,F=3, tem-se
integral triplaV3,dV = 3cdot Vol(V)
O volume de uma bola de raio 1 em R^3 é tfrac43pi. Portanto
3cdot Vol(V) = 3 times 43pi = 4pi

Resposta

O fluxo pedido é 4pi.

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