Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da integração por partes.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método da integração por partes. Esse método é muito útil quando a integral é o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar separadamente. Vamos precisar lembrar a fórmula da integração por partes e escolher bem quais funções vamos chamar de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar partes da nossa integral para aplicar a fórmula da integração por partes, que é:
Vamos escolher:
A razão disso é que a derivada de
é mais simples, e a integral de
também fica mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
A gente integra
para achar
, e a derivada de
para achar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Agora precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos deixar:
Então, derivando ambos os lados:
Substituindo na integral:
Mas isso complica, então vamos tentar outra substituição. Vamos tentar:
Substituindo na integral:
Ainda está complicado, então vamos usar uma integral padrão. Sabemos que:
Portanto, a integral se simplifica para
.
Resposta
Finalmente, juntando tudo:
onde
é a constante de integração.