Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da integração por partes.
integral arcsen raizxx+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral arcsin raizxx+1 , dx usando o método da integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas inversas e integrais, então vamos precisar entender bem como aplicar a integração por partes nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integração por partes, que segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = arcsin raizxx+1
dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e .
Para :
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
(Note: Essa parte pode ficar um pouco complexa, mas essencialmente estamos derivando a função dentro do arcsin.)
Para :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo :

Passo 5

Simplificando a integral restante:
Depois de algumas manipulações e substituições, chegamos a uma expressão que envolve raizx e simplificações adicionais que cancelam termos, resultando em:
integral arcsin raizxx+1 , dx = (x + 1) cdot arcsin raizxx+1 - raizx + C

Resposta

integral arcsin raizxx+1 , dx = (x + 1) arcsin raizxx+1 - raizx + C

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