Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método das integrais trigonométricas:
integral cos x[cos ^5(sen x)] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral cos xl[cos^5(sen x)r],dx
usando o método de integrais trigonométricas. Vamos precisar de substituições que transformem essa integral numa forma de potência de cosseno de um ângulo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = sin x,
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dt = cos x,dx
Assim, a integral em x passa a ser uma integral em t:
integral cos xl[cos^5(sin x)r] , dx = integral cos^5t , dt

Passo 3

Para integrar integral cos^5t,dt, usamos a identidade de potência par em termos de sen t. Escrevemos
cos^5t = cos^4t;cos t = l(1-sen^2tr)^2cos t

Passo 4

Aplicamos agora a substituição
u = sin t,
de modo que
du = cos t , dt
A integral fica
integral cos^5t , dt = integral l(1 - sin^2tr)^2 cos t , dt = integral (1 - u^2)^2 , du

Passo 5

Expandindo e integrando em u:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
então
integral (1 - u^2)^2,du =integral l(1 - 2u^2 + u^4r),du = u - 23u^3 + 15u^5 + C

Passo 6

Voltando às variáveis originais: u = sen t e t = sen x. Logo
u - 23u^3 + 15u^5 + C =sen(sen x) - 23sen^3(sen x) + 15sen^5(sen x) + C

Resposta

integral cos xl[cos^5(sen x)r],dx =sen(sen x) ;-;23sen^3(sen x);+;15sen^5(sen x)+C

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