Calcule as integrais:
integral0^pi integral0^sen x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^pi integral0^sen x y ,dy,dx.
O conteúdo envolve integração em duas variáveis usando Fubini e aplicação de identidade trigonométrica para integrar sen^2 x.

Passo 2

Primeiro integramos em y, tratando x como constante:
integral0^sen x y,dy = [tfrac12,y^2]0^sen x = tfrac12,sen^2 x

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral em x, obtemos
integral0^pi tfrac12,sen^2 x,dx = tfrac12 integral0^pi sen^2 x,dx

Passo 4

Para avaliar integral0^pisen^2 x,dx, usamos a identidade
sen^2 x = 1-cos2x2,
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integral0^pisen^2 x,dx = integral0^pi1-cos2x2,dx = 12l[x - tfracsin2x2r]0^pi = 12l(pi - 0r) = pi2

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac12 que ficou fora, a integral total vale
tfrac12 times pi2 = pi4

Resposta

pi4

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