Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^y x^2 e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla e depois calculá-la. A matéria envolvida é integração dupla e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como o domínio de integração está organizado e como ajustar os limites quando mudamos a ordem dos integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original é:
integral0^1 integral0^y x^2 e^x y , dx , dy
Aqui, y vai de 0 a 1, e para cada y, x vai de 0 até y. Isso forma um triângulo no plano xy onde 0 <= x <= y <= 1.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em y e depois em x. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
  • x vai de 0 a 1.
  • Para cada x, y vai de x até 1.
Então, a integral fica:
integral0^1 integralx^1 x^2 e^x y , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integralx^1 x^2 e^x y , dy
Aqui, x^2 é uma constante em relação a y, então podemos tirá-lo de fora da integral:
x^2 integralx^1 e^x y , dy
Para integrar e^x y em relação a y, fazemos uma substituição simples. A integral de e^x y em relação a y é:
e^x yx + C
Aplicando os limites de integração:
x^2 [ e^x cdot 1 - e^x cdot xx ] = x^2 ( e^x - e^x^2x ) = x (e^x - e^x^2)

Passo 5

Agora, vamos integrar isso em relação a x:
integral0^1 x (e^x - e^x^2) , dx = integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para integral x e^x , dx:
Usamos integração por partes, onde:
  • Seja u = x, então du = dx.
  • Seja dv = e^x dx, então v = e^x.
Aplicando:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C
Para integral x e^x^2 , dx:
Fazemos uma substituição, onde:
  • Seja u = x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.
Aplicando:
integral x e^x^2 , dx = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^x^2 + C

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x e^x^2 , dx = [ e^x (x - 1) ]0^1 - [ 12 e^x^2 ]0^1
Calculando os limites:
  • Para [ e^x (x - 1) ]0^1:
e^1 (1 - 1) - e^0 (0 - 1) = 0 - (-1) = 1
  • Para [ 12 e^x^2 ]0^1:
12 e^1 - 12 e^0 = e2 - 12
Então, temos:
1 - ( e2 - 12 ) = 1 - e2 + 12 = 32 - e2 = 3 - e2

Resposta

3 - e2

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