Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla e depois calculá-la. A matéria envolvida é integração dupla e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como o domínio de integração está organizado e como ajustar os limites quando mudamos a ordem dos integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original é:
Aqui,
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de 0 até
. Isso forma um triângulo no plano
onde
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar os novos limites:
-
vai de 0 a 1. - Para cada
, vai de até 1.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-lo de fora da integral:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 5
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para
:
Usamos integração por partes, onde:
- Seja
, então . - Seja
, então .
Aplicando:
Para
:
Fazemos uma substituição, onde:
- Seja
, então , ou seja, .
Aplicando:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral original:
Calculando os limites:
- Para
:
- Para
:
Então, temos: