Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição trigonométrica.
integral x^3(4 x^2+9)^32 d x.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida integral x^3(4 x^2+9)^32 dx usando o método da substituição trigonométrica. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos identidades trigonométricas para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma substituição que transforme o denominador numa forma que a gente conheça bem, tipo aquelas identidades trigonométricas que facilitam a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador: 4x^2 + 9. Isso parece com a expressão a^2 + x^2, onde a é uma constante. Nesse caso, podemos escrever 4x^2 + 9 como (2x)^2 + 3^2 . Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica 2x = 3 tan theta, ou seja, x = 32 tan theta.

Passo 3

Com a substituição x = 32 tan theta, precisamos também achar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados, temos:
dx = 32 sec^2 theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral (32 tan theta)^3(4(32 tan theta)^2 + 9)^32 cdot 32 sec^2 theta , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar o denominador dentro da integral:
4(32 tan theta)^2 + 9 = 4 cdot 94 tan^2 theta + 9 = 9 tan^2 theta + 9 = 9(tan^2 theta + 1) = 9 sec^2 theta
Então, o denominador fica:
(9 sec^2 theta)^32 = 9^32 sec^3 theta = 27 sec^3 theta

Passo 6

Substituindo de volta na integral, temos:
integral (278 tan^3 theta)27 sec^3 theta cdot 32 sec^2 theta , dtheta = integral 278 tan^3 theta27 sec^3 theta cdot 32 sec^2 theta , dtheta
Simplificando:
integral tan^3 theta8 sec^3 theta cdot 32 sec^2 theta , dtheta = integral 316 tan^3 theta cos theta , dtheta

Passo 7

Sabemos que tan theta = sin thetacos theta, então tan^3 theta cos theta = sin^3 theta / cos^2 theta. Mas aqui, vamos usar uma abordagem mais simples integrando tan^3 theta cos theta:
integral 316 tan^3 theta cos theta , dtheta = 316 integral tan^3 theta cos theta , dtheta
Como tan theta = sin thetacos theta, podemos reescrever tan^3 theta cos theta = sin^3 theta / cos^2 theta cdot cos theta = sin^3 theta / cos theta, que ainda é complicada. Então, melhor usar substituição:
Deixe u = sin theta, então du = cos theta , dtheta.
Expressamos a integral em termos de u:
316 integral u^3 cdot 1raiz1 - u^2 , du
Na verdade, isso complica. Melhor simplificar na etapa anterior:
tan^3 theta cos theta = tan^2 theta sin theta, e sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1, então:
tan^3 theta cos theta = (sec^2 theta - 1) sin theta

Passo 8

Agora, a integral fica:
316 integral (sec^2 theta - 1) sin theta , dtheta
Podemos separar a integral:
316 ( integral sec^2 theta sin theta , dtheta - integral sin theta , dtheta )
Para resolver integral sec^2 theta sin theta , dtheta, usamos substituição u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta.
Isso transforma a integral em:
- integral 1u^2 du = 1u + C = sec theta + C
E integral sin theta , dtheta = -cos theta + C.

Passo 9

Substituindo de volta, temos:
316 ( sec theta + cos theta ) + C
Agora, voltamos para x. Lembrando que fizemos x = 32 tan theta, então:
theta = tan^-1( 2x3 )
E sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + (2x3)^2 = raiz4x^2 + 93
E cos theta = 1sec theta = 3raiz4x^2 + 9

Passo 10

Substituindo tudo de volta na expressão:
316 ( raiz4x^2 + 93 + 3raiz4x^2 + 9 ) + C = 116 raiz4x^2 + 9 + 916 raiz4x^2 + 9 + C
Podemos combinar os termos:
raiz4x^2 + 916 + 916 raiz4x^2 + 9 + C = 4x^2 + 9 + 916 raiz4x^2 + 9 + C = 4x^2 + 1816 raiz4x^2 + 9 + C
Simplificando:
2x^2 + 98 raiz4x^2 + 9 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x^3(4 x^2+9)^32 dx = 2x^2 + 98 raiz4x^2 + 9 + C

Exercícios relacionados