Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição trigonométrica.
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral indefinida
usando o método da substituição trigonométrica. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos identidades trigonométricas para simplificar integrais complicadas. Vamos precisar identificar uma substituição que transforme o denominador numa forma que a gente conheça bem, tipo aquelas identidades trigonométricas que facilitam a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador:
. Isso parece com a expressão
, onde
é uma constante. Nesse caso, podemos escrever
como
. Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica
, ou seja,
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos também achar
em termos de
. Derivando ambos os lados, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador dentro da integral:
Então, o denominador fica:
Passo 6
Substituindo de volta na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Sabemos que
, então
. Mas aqui, vamos usar uma abordagem mais simples integrando
:
Como
, podemos reescrever
, que ainda é complicada. Então, melhor usar substituição:
Deixe
, então
.
Expressamos a integral em termos de
:
Na verdade, isso complica. Melhor simplificar na etapa anterior:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Podemos separar a integral:
Para resolver
, usamos substituição
, então
.
Isso transforma a integral em:
E
.
Passo 9
Substituindo de volta, temos:
Agora, voltamos para
. Lembrando que fizemos
, então:
E
E
Passo 10
Substituindo tudo de volta na expressão:
Podemos combinar os termos:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é: