Considere o campo vetorial F: R^3 R^3 definido por F(x, y, z)=(y^2, x, z x). Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície que é a região do cilindro x^2+y^2=1 exterior ao parabolóide z=x^2+y^2, com 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z)=(y^2,;x,;z,x)
pela parte do cilindro x^2+y^2=1 que fica fora do parabolóide z=x^2+y^2, com 0<= z<=1.
Note que, sobre esse cilindro, temos x^2+y^2=1, logo o parabolóide atinge z=1.
Portanto, para 0<= z<=1, todo ponto do cilindro está “abaixo” do parabolóide e, assim, constituem exatamente a superfície
S=l(x,y,z)mid x^2+y^2=1,;0<= z<=1r
O que precisamos é computar
Phi=integral duplaSFcdotn,dS,
onde n é o vetor normal exterior.

Passo 2

Parametrizamos S por coordenadas cilíndricas (em que o raio é fixo em 1):
r(theta,z)=l(costheta,;sintheta,;zr), 0<=theta<=2pi,; 0<= z<=1
O vetor normal unitário exterior ao cilindro é
n(theta,z) =l(costheta,;sintheta,;0r),
e a área elemento é
dS =l|partialthetartimespartialzrr|,dtheta,dz =1;dtheta,dz

Passo 3

Em cada ponto da superfície temos
F(costheta,sintheta,z)=(sin^2theta,costheta,zcostheta).
Então
Fcdotn =sin^2theta;costheta +costheta;sintheta +0 =sin^2thetacostheta+costhetasintheta

Passo 4

O fluxo é
Phi =integralz=0^1!!integraltheta=0^2pi l(sin^2thetacostheta+costhetasinthetar) ,dtheta,dz
Como o integrando não depende de z, fazemos primeiro
integral0^1dz=1,
restando
Phi =integral0^2pisin^2thetacostheta,dtheta +integral0^2picosthetasintheta,dtheta
Cada integral é zero, pois são primitivos de funções periódicas sobre um período inteiro.

Passo 5

Concluímos que o fluxo através de S é
Phi=0

Resposta

O fluxo de F pela superfície do cilindro é 0.

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