Calcule o fluxo integral duplaS F cdot n d S do campo vetorial F(x, y, z)=(x^2, y^2, z^2) através da superfície S, que é o bordo do cubo definido por [-1,1] times[-1,1] times[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
integral duplaSFcdotn,dS
do campo vetorial
F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2)
através da superfície S que é o contorno do cubo [-1,1]times[-1,1]times[-1,1].
Conteúdo da matéria: Teorema da Divergência (ou Gauss).

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(x^2) +partialpartial y(y^2) +partialpartial z(z^2) =2x+2y+2z

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaV(nablacdotF),dV,
onde V é o interior do cubo.

Passo 4

Avaliar o integral de volume
integral triplaV(2x+2y+2z),dV =2integral triplaVx,dV+2integral triplaVy,dV+2integral triplaVz,dV
Como o domínio é simétrico em torno de zero, temos
integral triplaVx,dV =integral triplaVy,dV =integral triplaVz,dV =0
Logo cada termo é zero.

Resposta

O fluxo é 0.

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