Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{x^{2}-1}{x \sqrt{x^{4}+3 x^{2}+1}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}-1}{x\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1}}\;dx
usando substituição de variável. O ponto-chave é identificar uma substituição que simplifique o radicando x^{4}+3x^{2}+1 e que torne o numerador proporcional à derivada dessa nova variável.

Passo 2

Observamos que, se definirmos
u = x + \frac1x,
então
u^2 = x^2 + 2 + \frac1{x^2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 + \frac1{x^2} = u^2 - 2.
Logo
x^{4}+3x^{2}+1 = x^2\Bigl(x^2+3+\tfrac1{x^2}\Bigr) = x^2\bigl((x^2+\tfrac1{x^2})+3\bigr) = x^2\bigl((u^2-2)+3\bigr) = x^2(u^2+1).
Assim,
\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1} = x\,\sqrt{u^2+1}.

Passo 3

Reescrevemos o integrando em termos de u. Primeiro,
\frac{x^{2}-1}{x\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1}} = \frac{x^{2}-1}{x\cdot x\sqrt{u^2+1}} = \frac{x^{2}-1}{x^2}\;\frac1{\sqrt{u^2+1}} = \Bigl(1 - \tfrac1{x^2}\Bigr)\frac1{\sqrt{u^2+1}}.
Por outro lado,
\frac{du}{dx} = 1 - \frac1{x^2}.
Logo
\Bigl(1 - \tfrac1{x^2}\Bigr)\,dx = du.
Portanto o integral vira
\int \frac{x^{2}-1}{x\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1}}\,dx = \int \frac{du}{\sqrt{u^2+1}}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{du}{\sqrt{u^2+1}} = \operatorname{arcsinh}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, como u = x + \tfrac1x, obtemos
\int \frac{x^{2}-1}{x\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1}}\,dx = \operatorname{arcsinh}\!\Bigl(x + \tfrac1x\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{\operatorname{arcsinh}\!\bigl(x + \tfrac1x\bigr) + C.}

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