Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}} \sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x^{3}}}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}\;\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x^{3}}}}\;dx
que podemos reescrever em potências de x como
\int x^{-3/2}\,(1+x^{3/4})^{-1/3}\;dx.
Vamos usar o método da substituição para simplificar essa expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = x^{3/4},
de modo que
dt = \frac{3}{4}\,x^{-1/4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{4}{3}\,x^{1/4}\,dt.
Observe que x^{1/4}=t^{1/3} e x^{3/2}=(x^{3/4})^{2}=t^{2}. Substituindo em \int x^{-3/2}(1+x^{3/4})^{-1/3}dx obtemos
\int x^{-3/2}(1+t)^{-1/3}\,\frac{4}{3}x^{1/4}\,dt = \frac{4}{3}\int t^{1/3-2}\,(1+t)^{-1/3}\,dt = \frac{4}{3}\int t^{-5/3}\,(1+t)^{-1/3}\,dt.

Passo 3

Para integrar
\int t^{-5/3}\,(1+t)^{-1/3}\,dt
fazemos a nova substituição
w = \frac{1}{t} \quad\Longrightarrow\quad dt = -\frac{1}{w^{2}}\,dw.
Como t^{-5/3}=w^{5/3} e 1+t=(w+1)/w, a integral vira
\int t^{-5/3}\,(1+t)^{-1/3}\,dt = -\int w^{5/3}\,\bigl((w+1)/w\bigr)^{-1/3}\,\frac{1}{w^{2}}\,dw = -\int (w+1)^{-1/3}\,dw.

Passo 4

A integral em w é imediata:
- \int (w+1)^{-1/3}\,dw = -\frac{(w+1)^{2/3}}{2/3} + C = -\frac{3}{2}\,(w+1)^{2/3} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{4}{3} que ficou fora, temos
\frac{4}{3}\times\Bigl(-\tfrac{3}{2}(w+1)^{2/3}\Bigr) = -2\,(w+1)^{2/3}+C.

Passo 5

Agora voltamos pelas substituições:
w = \frac{1}{t}, \quad t = x^{3/4} \quad\Longrightarrow\quad w+1 = \frac{1+x^{3/4}}{x^{3/4}}.
Logo
(w+1)^{2/3} = \biggl(\frac{1+x^{3/4}}{x^{3/4}}\biggr)^{2/3} = (1+x^{3/4})^{2/3}\,x^{-1/2}.
Portanto a antiderivada final é
-2\,x^{-1/2}\,(1+x^{3/4})^{2/3}+C \quad\Longrightarrow\quad -2\,\frac{(1+\sqrt[4]{x^{3}})^{2/3}}{\sqrt{x}}+C.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}\;\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x^{3}}}}\,dx = -2\,\frac{(1+\sqrt[4]{x^{3}})^{2/3}}{\sqrt{x}}+C.

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