Calcule as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituição de variável.
\int \frac{\sqrt[3]{\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)^{5}}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\sqrt[3]{\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5}}}{\sqrt{x^{2}+1}}\;dx
pelo método de substituição de variável. Vamos identificar uma expressão cuja derivada apareça (ou quase apareça) no integrando, facilitando a mudança de variável.

Passo 2

Repare que a parte complicada é \bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5/3}. Então, definimos
u = x + \sqrt{x^{2}+1}.
Agora calculamos du usando a regra da soma e a derivada de \sqrt{x^{2}+1}:
du = \Bigl(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\Bigr)\,dx = \frac{\sqrt{x^{2}+1} + x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \frac{u}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.

Passo 3

Isolando dx em função de du e u:
dx = \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{u}\;du.
Substituindo na integral original, em que o numerador é \bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5/3}=u^{5/3} e há um fator 1/\sqrt{x^{2}+1}:
\int \frac{u^{5/3}}{\sqrt{x^{2}+1}} \;\Bigl(\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{u}\;du\Bigr) = \int u^{5/3 - 1}\;du = \int u^{2/3}\;du.

Passo 4

Agora integramos uma potência simples de u:
\int u^{2/3}\;du = \frac{u^{5/3}}{\tfrac{5}{3}} + C = \frac{3}{5}\,u^{5/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = x + \sqrt{x^{2}+1}, obtemos a antiderivada
\frac{3}{5}\,\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5/3} + C.

Resposta

\int \frac{\sqrt[3]{\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5}}}{\sqrt{x^{2}+1}}\;dx = \frac{3}{5}\,\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{5/3} + C.

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