Calcule as seguintes integrais indefinidas:
n) integral x^3(x^2+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3l(x^2+2r)^2,dx
O conteúdo principal é substituição (reconhecer parte da derivada do denominador no numerador).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+2
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Além disso, x^3,dx = x^2,(x,dx) = (u-2),du2

Passo 3

Reescrevendo a integral em u:
integral x^3(x^2+2)^2,dx = integral (u-2),du2u^2 = 12integral l(uu^2 - 2u^2r),du = 12integral l(u^-1 - 2u^-2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^-1,du = lnlvert urvert, integral u^-2,du = -u^-1
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12integral l(u^-1 - 2u^-2r),du = 12l(lnlvert urvert - 2(-u^-1)r) + C = 12lnlvert urvert + 1u + C

Passo 5

Voltando a x, como u = x^2+2>0 podemos retirar valor absoluto:
12lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

Resposta

integral x^3l(x^2+2r)^2,dx = 12lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

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