(8,0 ptos ) Utilizando o TESTE DA SEGUNDA DERIVADA, encontre os máximos e os mínimos relativos. Encontre também os pontos de inflexão e os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo de f(x)=2 x e^-3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teste da Segunda Derivada. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os máximos e mínimos relativos da função $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade da função, ou seja, onde a curva está “virando para cima” ou “virando para baixo”. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. Isso vai nos ajudar a encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, que são candidatos a máximos e mínimos.
A função é $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se $ u(x) $ e $ v(x) $ são duas funções, então a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Então:
f'(x)
Calculando cada parte:
f(x) = 2x cdot e^-3x
u(x)
Então:
v(x)
Podemos fatorar:
u cdot v

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Sabemos que $ e^{-3x} $ nunca é zero, então:
2e^-3x(1 - 3x) = 0
Então, temos um ponto crítico em $ x = \frac{1}{3} $.

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $.
Começamos com a primeira derivada:
f''(x)
Vamos derivar novamente:
f'(x) = 2e^-3x(1 - 3x)
Usando a regra do produto novamente:
f''(x) = ddx[2e^-3x(1 - 3x)]
Calculando cada parte:
f''(x) = 2 cdot ddx(e^-3x) cdot (1 - 3x) + 2e^-3x cdot ddx(1 - 3x)
ddx(e^-3x) = -3e^-3x
Então:
ddx(1 - 3x) = -3
Fatorando:
f''(x) = 2(-3e^-3x)(1 - 3x) + 2e^-3x(-3) = -6e^-3x(1 - 3x) - 6e^-3x

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico $ x = \frac{1}{3} $:
x = 13
Como $ f’’\left(\frac{1}{3}\right) < 0 $, isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, ou seja, $ x = \frac{1}{3} $ é um máximo relativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Temos $ f’’(x) = -6e^{-3x}(2 - 3x) $.
Para $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = -6e^-3x(2 - 3x)
Como $ e^{-3x} \neq 0 $, resolvemos:
f''(x) = 0
Então, há um possível ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $.

Passo 7

Vamos verificar a concavidade nos intervalos definidos por $ x = \frac{2}{3} $:
  1. Para $ x < \frac{2}{3} $:
    • Escolha $ x = 0 $:
    x = 23
    Concavidade para baixo.
  2. Para $ x > \frac{2}{3} $:
    • Escolha $ x = 1 $:
    x < 23
    Concavidade para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $, onde a concavidade muda de para baixo para para cima.

Resposta

A função $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $ possui um máximo relativo em $ x = \frac{1}{3} $. Além disso, há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $. A concavidade da função é para baixo no intervalo $ (-\infty, \frac{2}{3}) $ e para cima no intervalo $ (\frac{2}{3}, +\infty) $.

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