Utilizando o TESTE DA SEGUNDA DERIVADA, encontre os máximos e os mínimos relativos. Encontre também os pontos de inflexão e os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teste da Segunda Derivada. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os máximos e mínimos relativos da função $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade da função, ou seja, onde a curva está “virando para cima” ou “virando para baixo”. Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. Isso vai nos ajudar a encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, que são candidatos a máximos e mínimos.
A função é $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se $ u(x) $ e $ v(x) $ são duas funções, então a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Então:
Calculando cada parte:
Então:
Podemos fatorar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Sabemos que $ e^{-3x} $ nunca é zero, então:
Então, temos um ponto crítico em $ x = \frac{1}{3} $.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo, usamos o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $.
Começamos com a primeira derivada:
Vamos derivar novamente:
Usando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico $ x = \frac{1}{3} $:
Como $ f’’\left(\frac{1}{3}\right) < 0 $, isso indica que a concavidade da função é para baixo nesse ponto, ou seja, $ x = \frac{1}{3} $ é um máximo relativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade. Para isso, analisamos onde a segunda derivada muda de sinal.
Temos $ f’’(x) = -6e^{-3x}(2 - 3x) $.
Para $ f’’(x) = 0 $:
Como $ e^{-3x} \neq 0 $, resolvemos:
Então, há um possível ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $.
Passo 7
Vamos verificar a concavidade nos intervalos definidos por $ x = \frac{2}{3} $:
-
Para $ x < \frac{2}{3} $:
- Escolha $ x = 0 $:
Concavidade para baixo. -
Para $ x > \frac{2}{3} $:
- Escolha $ x = 1 $:
Concavidade para cima.
Portanto, há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $, onde a concavidade muda de para baixo para para cima.
Resposta
A função $ f(x) = 2x \cdot e^{-3x} $ possui um máximo relativo em $ x = \frac{1}{3} $. Além disso, há um ponto de inflexão em $ x = \frac{2}{3} $. A concavidade da função é para baixo no intervalo $ (-\infty, \frac{2}{3}) $ e para cima no intervalo $ (\frac{2}{3}, +\infty) $.