Let u=t / 4, so d u=14 d t. When t=0, u=0; when t=pi, u=pi / 4. Thus,
integral0^pi sec ^2(t / 4) d t=integral0^pi / 4 sec ^2 u(4 d u)=4[tan u]0^pi / 4=4(tan pi4-tan 0)=4(1-0)=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^pisec^2(t/4),dt. O conteúdo principal é integração de sec^2, que sabemos ter primitiva tan. Vamos usar substituição para simplificar o argumento.

Passo 2

Fazemos a troca de variável u = t/4, de modo que du = tfrac14dt, ou seja dt = 4,du. Quando t = 0, temos u = 0, e quando t = pi, temos u = pi/4.
Substituindo na integral, obtemos
integral0^pisec^2(t/4),dt = integral0^pi/4sec^2(u),(4,du) = 4integral0^pi/4sec^2(u),du

Passo 3

Sabendo que a primitiva de sec^2(u) é tan(u), temos
4integral0^pi/4sec^2(u),du = 4l[tan(u)r]0^pi/4
Basta avaliar nos limites:
4l(tan(pi/4) - tan(0)r) = 4(1 - 0) = 4

Resposta

4

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