Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{x+7}{(x-4)^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral \displaystyle \int \frac{x+7}{(x-4)^{2}}\,dx. O conteúdo aqui é integrar funções racionais usando o método de frações parciais, que consiste em decompor a expressão em parcelas mais simples e depois integrar cada parcela separadamente.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos
\frac{x+7}{(x-4)^{2}} \;=\; \frac{A}{x-4} \;+\; \frac{B}{(x-4)^{2}}.
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-4)^{2}, obtemos
x + 7 = A(x - 4) + B.
Comparando coeficientes de x e dos termos constantes:
  • Coeficiente de x: A = 1.
  • Termo constante: -4A + B = 7 implica -4\cdot1 + B = 7, logo B = 11.

Passo 4

Substituindo A=1 e B=11 na integral, temos
\int \frac{x+7}{(x-4)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{x-4}\,dx \;+\; \int \frac{11}{(x-4)^{2}}\,dx.
A primeira integral é
\int \frac{1}{x-4}\,dx = \ln\lvert x-4\rvert,
e a segunda é
11 \int (x-4)^{-2}\,dx = 11 \cdot \frac{(x-4)^{-1}}{-1} = -\frac{11}{x-4}.

Resposta

\ln\lvert x-4\rvert \;-\; \frac{11}{x-4} \;+\; C

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