Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' \;=\; x \;+\; y
usando uma substituição adequada.
O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, do tipo que podem ser transformadas em equações lineares ou homogêneas por substituição. Para resolver, vamos reescrever em termos de \frac{dy}{dx} e usar a substituição y = v\,x.

Passo 2

Dividindo a equação original por x (supondo x\neq0), obtemos
y' \;=\; 1 \;+\;\frac{y}{x}.
Isso é uma equação de primeira ordem linear em y, mas fica mais simples aplicando a substituição de variáveis.

Passo 3

Faça a substituição
y = v(x)\,x.
Então
y' = \frac{d}{dx}\bigl(vx\bigr) = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em y' = 1 + \tfrac{y}{x}
v + x\,\frac{dv}{dx} = 1 + v.

Passo 4

Cancelando v dos dois lados, fica
x\,\frac{dv}{dx} = 1.
Ou seja,
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}.

Passo 5

Integramos em relação a x:
v(x) = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y = v\,x, substituímos
y(x) = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr) = x\ln\lvert x\rvert + C\,x.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x\ln\lvert x\rvert + C\,x,
com C constante arbitrária e x\neq0.

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