Determinar as soluções das equações dadas a seguir, usando uma substituição adequada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição adequada.
O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, do tipo que podem ser transformadas em equações lineares ou homogêneas por substituição. Para resolver, vamos reescrever em termos de e usar a substituição
.
O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, do tipo que podem ser transformadas em equações lineares ou homogêneas por substituição. Para resolver, vamos reescrever em termos de
Passo 2
Dividindo a equação original por
(supondo
), obtemos
Isso é uma equação de primeira ordem linear em
, mas fica mais simples aplicando a substituição de variáveis.
Passo 3
Faça a substituição
Então
Substituindo em
dá
Passo 4
Cancelando
dos dois lados, fica
Ou seja,
Passo 5
Integramos em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
, substituímos
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
com
constante arbitrária e
.