Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
5.
\int \operatorname{sen} a x d x. Resposta. -\frac{\cos a x}{a}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin(ax)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função composta, que podemos resolver via mudança de variável ou usando diretamente a tabela de integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = a x, \quad du = a\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{a}.
Assim, a integral fica
\int \sin(ax)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\,\int \sin(u)\,du.

Passo 3

Da tabela de integrais (ou sabendo de cor) temos
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo,
\frac{1}{a}\,\int \sin(u)\,du = \frac{1}{a}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -\frac{\cos(u)}{a} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = a x, resultando em
-\frac{\cos(u)}{a} + C \;\longrightarrow\; -\frac{\cos(a x)}{a} + C.

Resposta

-\frac{\cos(a x)}{a} + C

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