Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
2.
\int\left(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x \sqrt{x}}{4}\right) \mathrm{dx}. Resposta. \left(6 \sqrt{x}-\frac{1}{10} x^{2} \sqrt{x}\right)+\mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}}{4}\Bigr)\,dx.
Aqui vamos usar a regra da potência para integrais, que diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
e também converter raízes em potências de x antes de integrar.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências de x:
\frac{3}{\sqrt{x}} = 3\,x^{-\tfrac12}, \quad \frac{x\sqrt{x}}{4} = \frac{1}{4}x^{1+\tfrac12} = \frac{1}{4}x^{\tfrac32}.
Logo
\int\Bigl(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}}{4}\Bigr)\,dx = \int\Bigl(3x^{-\tfrac12}-\tfrac{1}{4}x^{\tfrac32}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo:
\int 3x^{-\tfrac12}\,dx =3\cdot\frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} =3\cdot\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =6\,x^{\tfrac12} =6\sqrt{x}.

Passo 4

Agora ao segundo termo:
\int -\tfrac{1}{4}x^{\tfrac32}\,dx =-\tfrac14\cdot\frac{x^{\tfrac32+1}}{\tfrac32+1} =-\tfrac14\cdot\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =-\tfrac14\cdot\frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} =-\tfrac{1}{10}\,x^{\tfrac52}.
E, como x^{\tfrac52}=x^2\sqrt{x}, esse termo fica
-\frac{1}{10}x^2\sqrt{x}.

Resposta

6\sqrt{x}-\frac{1}{10}x^2\sqrt{x}+C.

Exercícios relacionados