Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
4.
\int\left(x^{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2} d x. Resposta. \frac{x^{5}}{5}+\frac{3}{4} x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}+3 \sqrt[3]{x}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(x^{2}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^{2}dx.
Aqui o conteúdo é integração de funções potência, e vamos usar a regra da potência
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
além de simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro reescrevemos \tfrac{1}{\sqrt[3]{x}} como x^{-1/3} e expandimos o quadrado:
\Bigl(x^{2}+x^{-1/3}\Bigr)^{2} = x^{4}+2\,x^{2}\,x^{-1/3}+x^{-2/3} = x^{4}+2\,x^{5/3}+x^{-2/3}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra da potência:
\int x^{4}dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int 2\,x^{5/3}dx =2\cdot\frac{x^{5/3+1}}{5/3+1} =2\cdot\frac{x^{8/3}}{8/3} =\frac{3}{4}\,x^{8/3},
\int x^{-2/3}dx =\frac{x^{-2/3+1}}{-2/3+1} =\frac{x^{1/3}}{1/3} =3\,x^{1/3}.

Passo 4

Só falta reescrever x^{8/3} e x^{1/3} em radicais de índice 3:
x^{8/3}=x^{2}\,x^{2/3}=x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}, \quad x^{1/3}=\sqrt[3]{x},
logo a antiderivada completa é
\frac{x^{5}}{5}+\frac{3}{4}\,x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}+3\sqrt[3]{x}+C.

Resposta

\int\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\Bigr)^{2}dx =\frac{x^{5}}{5}+\frac{3}{4}\,x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}+3\sqrt[3]{x}+C.

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