Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
28.
\int 2 x\left(x^{2}+1\right)^{4} \mathrm{dx}. Resposta. \frac{\left(x^{2}+1\right)^{5}}{5}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x\,(x^{2}+1)^{4}\,dx
Esse tipo de integral sugere usar mudança de variável (substituição), pois vemos uma função composta (x^{2}+1)^{4} e sua derivada 2x está multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+1
então
du = 2x\,dx.
Com isso, o diferencial 2x\,dx é exatamente du e a integral se transforma em
\int u^{4}\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Voltando à variável original x, substituímos u = x^{2}+1.

Resposta

\frac{(x^{2}+1)^{5}}{5} + C

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