Uma bala, disparada a 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, atinge o alvo a 100 m de distância na mesma altura que a boca da arma. Para que ponto, na vertical do alvo, a arma deve ser apontada?

Passo 1

O enunciado diz que uma bala é disparada com velocidade inicial v_{0}=250\\ \mathrm{m/s} e deve atingir um alvo situado a 100\\ \mathrm{m} de distância horizontal, ficando na mesma altura da boca da arma. Como a gravidade faz a bala descer, precisamos elevar o cano um pouco acima da linha horizontal. Para resolver, usaremos o modelo de lançamento oblíquo sem resistência do ar, aplicando as equações de alcance e de movimento nos eixos horizontal e vertical.

Passo 2

Se o cano forma um ângulo \theta com a horizontal, as componentes da velocidade são
v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\quad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
O alcance R até voltar à mesma altura é dado por
R=\frac{v_{0}^{2}\,\sin(2\theta)}{g}.
Para acertar o alvo a R=100\\ \mathrm{m}, impomos
\frac{v_{0}^{2}\,\sin(2\theta)}{g}=100.

Passo 3

Isolando \sin(2\theta) e usando g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\sin(2\theta)=\frac{100\cdot9,8}{250^{2}}\approx0,01568.
Como o valor é pequeno, usamos a aproximação \arcsin x\approx x para x\ll1, obtendo
2\theta\approx0,01568\\ \mathrm{rad} \quad\Longrightarrow\quad \theta\approx0,00784\\ \mathrm{rad}\approx0,449^\circ.

Passo 4

Para saber a altura h acima do centro do alvo onde devemos mirar, calculamos
h=R\tan\theta\approx100\tan(0,00784)\approx100\cdot0,00784\approx0,784\\ \mathrm{m}.

Resposta

Deve-se apontar o cano cerca de 0,78\\ \mathrm{m} acima do centro do alvo, o que corresponde a um ângulo de elevação de aproximadamente 0,45^\circ.

Exercícios relacionados