Calcule as seguintes integrais.
\left.\int \ln x+\sqrt{1+x^{2}}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \bigl(\ln x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de integração por partes para \int \ln x\,dx e a aplicação da fórmula padrão
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx
no caso a=1.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes:
\int \ln x\,dx \quad\text{e}\quad \int \sqrt{1 + x^{2}}\,dx.
Começando por \displaystyle \int \ln x\,dx, usamos integração por partes com
u = \ln x,\quad dv = dx,\quad du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = x.
Logo,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C_{1}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int \sqrt{1 + x^{2}}\,dx. Conhecemos a fórmula
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\ln\bigl(x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr) + C,
e aqui a=1. Assim,
\int \sqrt{1 + x^{2}}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr) + C_{2}.

Passo 4

Somando os dois resultados e unificando as constantes C_{1}+C_{2} em uma única constante C, obtemos
\int \bigl(\ln x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr)\,dx = \bigl(x\ln x - x\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr) + C.

Resposta

\int \bigl(\ln x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr)\,dx = x\ln x - x + \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^{2}} + \frac{1}{2}\ln\bigl(x + \sqrt{1 + x^{2}}\bigr) + C.

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