Calcule as seguintes integrais.
\int(-2 \cos t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo e dá apenas a função a integrar:
\int (-2 \cos t)\,dt.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) de (-2\cos t).

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica das integrais: a linearidade em relação a constantes. Esta propriedade diz que, para uma constante a e uma função f(t),
\int a\,f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt.
Aqui a é uma constante (um número) e f(t) é uma função de t. Essa propriedade permite tirar constantes multiplicativas para fora do sinal de integral, o que simplifica muito os cálculos.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso caso, onde a constante é -2 e a função é \cos t, obtemos:
\int (-2\cos t)\,dt = -2\int \cos t\,dt.

Passo 4

Agora precisamos da primitiva de \cos t. Conhecimento básico de derivadas e primitivas mostra que a derivada de \sin t é \cos t, isto é,
\frac{d}{dt}\sin t = \cos t.
Pelo relacionamento entre derivada e primitiva, isso significa que uma primitiva de \cos t é \sin t. Portanto,
\int \cos t\,dt = \sin t + C,
onde C é a constante de integração (uma constante arbitrária que aparece em integrais indefinidas).

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão do Passo 3:
-2\int \cos t\,dt = -2\bigl(\sin t + C\bigr).
Como -2C é apenas outra constante arbitrária, podemos escrever a constante final como uma única constante C. Assim:
-2\bigl(\sin t + C\bigr) = -2\sin t + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta encontrada deve voltar-se à função original. Calcular
\frac{d}{dt}\bigl(-2\sin t + C\bigr) = -2\cos t + 0 = -2\cos t,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Resumo didático e exemplo adicional rápido: a regra usada foi tirar a constante -2 para fora da integral e lembrar que \int \cos t\,dt=\sin t+C. Exemplo similar: \int 3\cos t\,dt = 3\sin t + C.

Resposta

-2 \sin t + C

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