Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo e dá apenas a função a integrar:
A pergunta é: encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) de
.
Passo 2
Relembrando uma propriedade básica das integrais: a linearidade em relação a constantes. Esta propriedade diz que, para uma constante
e uma função
,
Aqui
é uma constante (um número) e
é uma função de
. Essa propriedade permite tirar constantes multiplicativas para fora do sinal de integral, o que simplifica muito os cálculos.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso caso, onde a constante é
e a função é
, obtemos:
Passo 4
Agora precisamos da primitiva de
. Conhecimento básico de derivadas e primitivas mostra que a derivada de
é
, isto é,
Pelo relacionamento entre derivada e primitiva, isso significa que uma primitiva de
é
. Portanto,
onde
é a constante de integração (uma constante arbitrária que aparece em integrais indefinidas).
Passo 5
Substituindo esse resultado na expressão do Passo 3:
Como
é apenas outra constante arbitrária, podemos escrever a constante final como uma única constante
. Assim:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta encontrada deve voltar-se à função original. Calcular
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Resumo didático e exemplo adicional rápido: a regra usada foi tirar a constante
para fora da integral e lembrar que
. Exemplo similar:
.