Calcule as seguintes integrais.
\int(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}. As informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}.
  • Queremos uma antiderivada, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}.
    Vou resolver passo a passo e checar o resultado ao final.

Passo 2

Primeiro é mais simples reescrever as raízes como potências:
\sqrt{x}=x^{1/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Assim a integral fica
\int(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x})\,dx=\int\bigl(x^{1/2}+x^{1/3}\bigr)\,dx.

Passo 3

Lembrete das ferramentas que usarei (explicando por que valem):
  • Linearidade da integral: \displaystyle \int (f+g)\,dx=\int f\,dx+\int g\,dx. Isso permite separar a soma em duas integrais.
  • Regra da potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que essa fórmula funciona? Porque, pela regra da derivada, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n+1}\bigr)=(n+1)x^{n}. Então \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n}, logo \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int\bigl(x^{1/2}+x^{1/3}\bigr)\,dx=\int x^{1/2}\,dx+\int x^{1/3}\,dx.
Agora integramos o primeiro termo usando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2} e
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,x^{3/2}.
Expliquei: dividir por 3/2 é o mesmo que multiplicar por \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Integramos o segundo termo com n=\tfrac{1}{3}. Então n+1=\tfrac{4}{3} e
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}\,x^{4/3}.

Passo 6

Juntando os dois resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{3}{4}\,x^{4/3}+C.
Opcionalmente pode-se reescrever em radicais:
F(x)=\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{3}{4}\,x^{4/3}+C=\frac{2}{3}\,x\sqrt{x}+\frac{3}{4}\,x^{4/3}+C.

Passo 7

Checagem rápida por diferenciação (para ganhar segurança):
Derivando F(x):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3}.
Somando dá x^{1/2}+x^{1/3}=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}, que é a função original. Está correto.

Resposta

\frac{2}{3}\,x^{3/2}+\frac{3}{4}\,x^{4/3}+C

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