Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida) da função
. As informações relevantes que temos:
- A função a integrar é
. - Queremos uma antiderivada, isto é, uma função
tal que .
Vou resolver passo a passo e checar o resultado ao final.
Passo 2
Primeiro é mais simples reescrever as raízes como potências:
e
.
Assim a integral fica
Assim a integral fica
Passo 3
Lembrete das ferramentas que usarei (explicando por que valem):
- Linearidade da integral:
. Isso permite separar a soma em duas integrais. - Regra da potência para integrais: para qualquer
,
Por que essa fórmula funciona? Porque, pela regra da derivada,
. Então
, logo
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicando a linearidade, escrevemos
Agora integramos o primeiro termo usando a regra da potência com
. Então
e
Expliquei: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 5
Integramos o segundo termo com
. Então
e
Passo 6
Juntando os dois resultados e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Opcionalmente pode-se reescrever em radicais:
Passo 7
Checagem rápida por diferenciação (para ganhar segurança):
Derivando :
Derivando
Somando dá
, que é a função original. Está correto.