Calcule as seguintes integrais.
\int 3 x^{\sqrt{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3 x^{\sqrt{3}}\, dx.
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
  • A variável de integração é x.
  • A função integranda é 3 x^{\sqrt{3}}.
  • Como o expoente \sqrt{3} é irracional, para interpretar x^{\sqrt{3}} como função real normalmente considera-se x>0 (isso será observado mais adiante).
  • A pergunta é: encontrar uma primitiva (a antiderivada) — isto é, uma expressão cuja derivada seja 3 x^{\sqrt{3}} — e lembrar de incluir a constante de integração C.

Passo 2

Regras que vamos usar — explicadas de forma simples:
  • Regra do fator constante: se k é constante então \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx. Ou seja, pode-se tirar constantes fora da integral.
  • Regra da potência (caso geral): se n\neq -1 é um número real, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente (qualquer número real diferente de -1), x é a variável e C é a constante de integração. A razão desta fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, aplica-se a regra do poder e obtém-se x^{n}.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso problema:
  • Primeiro tiramos o fator constante 3 para fora da integral:
\int 3 x^{\sqrt{3}}\,dx = 3\int x^{\sqrt{3}}\,dx.
  • Agora usamos a regra da potência com n=\sqrt{3}. Como \sqrt{3}\neq -1, a fórmula vale. Assim
\int x^{\sqrt{3}}\,dx = \frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1} + C.
Multiplicando pelo 3 que estava fora:
3\int x^{\sqrt{3}}\,dx = 3\cdot\frac{x^{1+\sqrt{3}}}{1+\sqrt{3}} + C.

Passo 4

Podemos deixar o coeficiente um pouco mais “bonito” removendo a raiz do denominador (opcional, mas útil em provas). Racionalizando:
\frac{3}{1+\sqrt{3}}=\frac{3}{1+\sqrt{3}}\cdot\frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} =\frac{3(1-\sqrt{3})}{1-(\sqrt{3})^{2}} =\frac{3(1-\sqrt{3})}{1-3} =\frac{3(1-\sqrt{3})}{-2} =\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}.
Portanto uma forma equivalente da primitiva é
\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}\,x^{1+\sqrt{3}} + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): seja F(x)=\dfrac{3}{1+\sqrt{3}}x^{1+\sqrt{3}}. Então
F'(x)=\frac{3}{1+\sqrt{3}}\cdot(1+\sqrt{3})\,x^{\sqrt{3}}=3x^{\sqrt{3}},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta. A forma com coeficiente racionalizado também funciona porque é algebricamente igual.

Passo 6

Observação sobre domínio e constante: a primitiva é válida para x>0 se quisermos manter x^{\sqrt{3}} como função real. Em muitos contextos (provas) essa hipótese é assumida implicitamente. Não esqueça do +C, que representa a família de todas as primitivas.

Resposta

\dfrac{3(\sqrt{3}-1)}{2}\,x^{1+\sqrt{3}}+C

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