Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações e observações iniciais que o enunciado dá:
- A variável de integração é
. - A função integranda é
. - Como o expoente
é irracional, para interpretar como função real normalmente considera-se (isso será observado mais adiante). - A pergunta é: encontrar uma primitiva (a antiderivada) — isto é, uma expressão cuja derivada seja
— e lembrar de incluir a constante de integração .
Passo 2
Regras que vamos usar — explicadas de forma simples:
- Regra do fator constante: se
é constante então . Ou seja, pode-se tirar constantes fora da integral. - Regra da potência (caso geral): se
é um número real, então
Aqui
é o expoente (qualquer número real diferente de
),
é a variável e
é a constante de integração. A razão desta fórmula vem do fato de que, ao derivar
, aplica-se a regra do poder e obtém-se
.
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso problema:
- Primeiro tiramos o fator constante
para fora da integral:
- Agora usamos a regra da potência com
. Como , a fórmula vale. Assim
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 4
Podemos deixar o coeficiente um pouco mais “bonito” removendo a raiz do denominador (opcional, mas útil em provas). Racionalizando:
Portanto uma forma equivalente da primitiva é
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): seja
. Então
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva está correta. A forma com coeficiente racionalizado também funciona porque é algebricamente igual.
Passo 6
Observação sobre domínio e constante: a primitiva é válida para
se quisermos manter
como função real. Em muitos contextos (provas) essa hipótese é assumida implicitamente. Não esqueça do
, que representa a família de todas as primitivas.