Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{1+\cos 4 t}{2} d t

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que temos: integrar a função
\int \frac{1+\cos 4t}{2}\,dt.
Ou seja, calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função em relação a t. Não há condições adicionais, então devolvemos a família de primitivas com a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: separar a fração em duas parcelas para facilitar a integração. Observa-se que
\frac{1+\cos 4t}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 4t.
Essa transformação é só distributiva e torna a integral a soma de duas integrais mais simples.

Passo 3

Integramos a primeira parcela, que é constante em t:
\int \frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}t.
Explicação didática: a integral de uma constante a em relação a t é at (mais a constante de integração). Aqui a=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora integramos a segunda parcela \int \frac{1}{2}\cos 4t\,dt. Use uma substituição simples (regra da cadeia reversa):
  • Tome \,u=4t. Então \,du=4\,dt, o que implica \,dt=\tfrac{1}{4}\,du.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{1}{2}\cos 4t\,dt = \frac{1}{2}\int \cos u\cdot \frac{1}{4}\,du = \frac{1}{8}\int \cos u\,du.
  • A primitiva de \cos u é \sin u, logo
\frac{1}{8}\int \cos u\,du = \frac{1}{8}\sin u = \frac{1}{8}\sin(4t).
Observação didática: em geral \int \cos(k t)\,dt = \frac{1}{k}\sin(k t), porque ao derivar \sin(k t) aparece o fator k pela regra da cadeia.

Passo 5

Juntando as primitivas das duas parcelas obtidas nos passos anteriores, a primitiva da função original é a soma das duas primitivas parciais (mais a constante de integração). Como checagem rápida: a derivada de \tfrac{1}{2}t é \tfrac{1}{2} e a derivada de \tfrac{1}{8}\sin(4t) é \tfrac{1}{8}\cdot 4\cos(4t)=\tfrac{1}{2}\cos(4t); somando dá exatamente \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\cos(4t), que é o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{t}{2}+\frac{\sin(4t)}{8}+C

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