Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que temos: integrar a função
Ou seja, calcular uma primitiva (antiderivada) dessa função em relação a
. Não há condições adicionais, então devolvemos a família de primitivas com a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: separar a fração em duas parcelas para facilitar a integração. Observa-se que
Essa transformação é só distributiva e torna a integral a soma de duas integrais mais simples.
Passo 3
Integramos a primeira parcela, que é constante em
:
Explicação didática: a integral de uma constante
em relação a
é
(mais a constante de integração). Aqui
.
Passo 4
Agora integramos a segunda parcela
. Use uma substituição simples (regra da cadeia reversa):
- Tome
. Então , o que implica . - Substituindo na integral:
- A primitiva de
é , logo
Observação didática: em geral
, porque ao derivar
aparece o fator
pela regra da cadeia.
Passo 5
Juntando as primitivas das duas parcelas obtidas nos passos anteriores, a primitiva da função original é a soma das duas primitivas parciais (mais a constante de integração). Como checagem rápida: a derivada de
é
e a derivada de
é
; somando dá exatamente
, que é o integrando. Portanto a primitiva está correta.