Calcule as seguintes integrais:
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida por uma primitiva (antiderivada):
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
multiplicado por (ou seja, ). - Espera-se uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Observação que nos ajuda a escolher um substituto: a presença de
e de um fator
sugere usar uma substituição em que a derivada envolva
. Vamos tentar a substituição
Explicação curta: quando escolhemos
, a diferencial
será proporcional a
, o que permitirá transformar toda a integral em termos de
.
Passo 3
Calculemos a diferencial de
. Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
temos
Agora substituímos na integral original: como
,
, e
. Assim a integral vira
Passo 4
Integrando em
usando a regra da potência para primitivas: para
,
Aqui
, então
Expliquei a fórmula: ela vem de derivar
, que retorna
; é a regra básica para antiderivadas de potências.
Passo 5
Voltando à variável original
(fazendo a substituição inversa
), obtemos a primitiva
Verificação rápida (é sempre bom checar): derivando
usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Tudo bate.