Calcule as seguintes integrais:
a) \int \cos ^{5} x \operatorname{sen} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida por uma primitiva (antiderivada):
\int \cos^{5} x\,\operatorname{sen} x\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \cos^{5}x multiplicado por \operatorname{sen} x (ou seja, \cos^{5}x\cdot\operatorname{sen} x).
  • Espera-se uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Observação que nos ajuda a escolher um substituto: a presença de \cos^{5}x e de um fator \operatorname{sen} x\,dx sugere usar uma substituição em que a derivada envolva \operatorname{sen} x\,dx. Vamos tentar a substituição
u=\cos x.
Explicação curta: quando escolhemos u=\cos x, a diferencial du será proporcional a \operatorname{sen} x\,dx, o que permitirá transformar toda a integral em termos de u.

Passo 3

Calculemos a diferencial de u. Derivando u=\cos x em relação a x obtemos
du = -\operatorname{sen} x\,dx.
Isolando \operatorname{sen} x\,dx temos
\operatorname{sen} x\,dx = -du.
Agora substituímos na integral original: como \cos x = u, \cos^{5}x = u^{5}, e \operatorname{sen} x\,dx = -du. Assim a integral vira
\int \cos^{5}x\,\operatorname{sen} x\,dx = \int u^{5}(-du) = -\int u^{5}\,du.

Passo 4

Integrando em u usando a regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
-\int u^{5}\,du = -\frac{u^{6}}{6} + C.
Expliquei a fórmula: ela vem de derivar \frac{u^{n+1}}{n+1}, que retorna u^{n}; é a regra básica para antiderivadas de potências.

Passo 5

Voltando à variável original x (fazendo a substituição inversa u=\cos x), obtemos a primitiva
-\frac{(\cos x)^{6}}{6} + C.
Verificação rápida (é sempre bom checar): derivando -\frac{\cos^{6}x}{6} usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{\cos^{6}x}{6}\right)= -\frac{6\cos^{5}x\cdot(-\operatorname{sen} x)}{6}=\cos^{5}x\,\operatorname{sen} x,
que é exatamente o integrando. Tudo bate.

Resposta

-\dfrac{\cos^{6}x}{6}+C

Exercícios relacionados