Resolva o problema de valor inicial dado a seguir : 4 y \prime \prime-4 y \prime+y=0, y(0)=1, y \prime(0)=-\frac{3}{2}
Selecione a resposta:
A \quad y(x)=C_{1} e^{x / 2}+C_{2} x e^{x / 2}
B y(x)=e^{x / 2}-2 x e^{x / 2}
C \mathrm{y}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x} / 2}-2 e^{\mathrm{x} / 2}
D y(x)=\operatorname{sen} x+2 \cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Dados fornecidos:
4y''-4y'+y=0,
y(0)=1,
y'(0)=-\tfrac{3}{2}.
A tarefa é encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação e essas condições iniciais e, em seguida, selecionar a alternativa correta entre as opções A, B, C e D.

Passo 2

Método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma \displaystyle y(x)=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação diferencial obtemos a equação característica (uma equação algébrica em r). Vamos formar essa equação característica explicitamente.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação:
y'=r e^{r x},\qquad y''=r^{2} e^{r x}.
Então
4y''-4y'+y=4(r^{2}e^{r x})-4(re^{r x})+1\cdot e^{r x}=e^{r x}\bigl(4r^{2}-4r+1\bigr)=0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
4r^{2}-4r+1=0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática \displaystyle 4r^{2}-4r+1=0. Podemos reconhecer que é um quadrado perfeito porque
4r^{2}-4r+1=(2r-1)^{2}.
Logo a equação tem raiz dupla
r=\tfrac{1}{2}\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 5

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla r=r_{0}, as duas soluções independentes da equação diferencial são e^{r_{0}x} e x e^{r_{0}x}. Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{\tfrac{x}{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a multiplicidade 2 exige uma segunda solução independente, que pode ser obtida multiplicando pela potência x.

Passo 6

Aplicamos a primeira condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=\bigl(C_{1}+C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{1}=1.
Portanto
C_{1}=1.

Passo 7

Agora precisamos de y'(x) para usar y'(0)=-\tfrac{3}{2}. Calculamos y'(x) passo a passo usando a regra do produto. Temos
y(x)=\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)e^{\tfrac{x}{2}}.
Derivando, com u(x)=C_{1}+C_{2}x e v(x)=e^{x/2}, y'=u'v+uv'. Então
u'(x)=C_{2},\qquad v'(x)=\tfrac{1}{2}e^{x/2}.
Assim
y'(x)=C_{2}e^{\tfrac{x}{2}}+\bigl(C_{1}+C_{2}x\bigr)\tfrac{1}{2}e^{\tfrac{x}{2}}.
Fatorando e^{x/2},
y'(x)=e^{\tfrac{x}{2}}\Bigl(C_{2}+\tfrac{1}{2}C_{1}+\tfrac{1}{2}C_{2}x\Bigr).

Passo 8

Usamos a condição inicial y'(0)=-\tfrac{3}{2}. Colocando x=0 em y'(x) e lembrando C_{1}=1:
y'(0)=e^{0}\Bigl(C_{2}+\tfrac{1}{2}C_{1}+\tfrac{1}{2}C_{2}\cdot 0\Bigr)=C_{2}+\tfrac{1}{2}\cdot 1=C_{2}+\tfrac{1}{2}.
Igualando a -\tfrac{3}{2},
C_{2}+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 9

Resolvendo para C_{2}:
C_{2}=-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=-2.

Passo 10

Agora temos C_{1}=1 e C_{2}=-2. Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é a da forma encontrada com essas constantes. Comparando com as alternativas dadas, a opção que corresponde a
y(x)=\bigl(1-2x\bigr)e^{\tfrac{x}{2}}
é a alternativa B, que pode ser escrita como y(x)=e^{x/2}-2x e^{x/2}.

Resposta

B
y(x)=e^{\tfrac{x}{2}}-2x e^{\tfrac{x}{2}}

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