Resolva o problema de valor inicial dado a seguir :
Selecione a resposta:
A
B
C
D
Selecione a resposta:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Dados fornecidos:
A tarefa é encontrar a solução
que satisfaz essa equação e essas condições iniciais e, em seguida, selecionar a alternativa correta entre as opções A, B, C e D.
Passo 2
Método padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes: procuramos soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação diferencial obtemos a equação característica (uma equação algébrica em
). Vamos formar essa equação característica explicitamente.
Passo 3
Substituindo
na equação:
Então
Como
, a equação característica é
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
. Podemos reconhecer que é um quadrado perfeito porque
Logo a equação tem raiz dupla
Passo 5
Quando a equação característica tem uma raiz real dupla
, as duas soluções independentes da equação diferencial são
e
. Portanto a solução geral da EDO é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do porquê: a multiplicidade 2 exige uma segunda solução independente, que pode ser obtida multiplicando pela potência .
Explicação curta do porquê: a multiplicidade 2 exige uma segunda solução independente, que pode ser obtida multiplicando pela potência
Passo 6
Aplicamos a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Portanto
Passo 7
Agora precisamos de
para usar
. Calculamos
passo a passo usando a regra do produto. Temos
Derivando, com
e
,
. Então
Assim
Fatorando
,
Passo 8
Usamos a condição inicial
. Colocando
em
e lembrando
:
Igualando a
,
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora temos
e
. Logo a solução que satisfaz as condições iniciais é a da forma encontrada com essas constantes. Comparando com as alternativas dadas, a opção que corresponde a
é a alternativa B, que pode ser escrita como
.
Resposta
B