Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
  • \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C.
  • \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen} \frac{x}{a}+C,|x|<a.
  • \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,|x|>a.
    \int \frac{1}{\sqrt{e^{2 x}-1}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Foram fornecidas três fórmulas de integrais conhecidas. A que vamos usar é
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx=\frac{1}{a}\operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,\qquad |x|>a.
  • A integral só faz sentido (no conjunto dos reais) quando o radicando é positivo:
e^{2x}-1>0 \implies e^{2x}>1 \implies e^{x}>1 \implies x>0.
Portanto devemos trabalhar com x>0.

Passo 2

Motivação da substituição: dentro da raiz temos e^{2x}, que é (e^{x})^{2}. Isso sugere trocar a função exponencial por uma nova variável para obter uma forma parecida com x^{2}-a^{2} das fórmulas dadas. Fazemos a substituição
u=e^{x}.
Agora calculamos o diferencial: derivando, du=e^{x}\,dx, portanto
dx=\frac{du}{u}.

Passo 3

Aplicamos a substituição na integral. Como e^{2x}=(e^{x})^{2}=u^{2}, a integral transforma-se em
\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\,dx =\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}-1}}\cdot\frac{du}{u} =\int \frac{1}{u\sqrt{u^{2}-1}}\,du.
Note que todas as ocorrências de x na integranda foram substituídas por u e dx por du/u.

Passo 4

Agora reconhecemos a forma da integral obtida com a fórmula fornecida. Comparando com
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}\,dx=\frac{1}{a}\operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,
vemos que basta tomar x\mapsto u e a=1. Assim
\int \frac{1}{u\sqrt{u^{2}-1}}\,du=\frac{1}{1}\operatorname{arcsec}\left|\frac{u}{1}\right|+C=\operatorname{arcsec}\left|u\right|+C.

Passo 5

Voltando à variável original usando u=e^{x}, obtemos
\operatorname{arcsec}\left|u\right|+C=\operatorname{arcsec}\left|e^{x}\right|+C.
Como e^{x}>0 sempre e, no domínio da integral, x>0 implica e^{x}>1, podemos simplificar o módulo e escrever simplesmente
\operatorname{arcsec}\bigl(e^{x}\bigr)+C.

Passo 6

Comentário didático final (como usar isso na prova): o truque foi identificar que e^{2x} é um quadrado perfeito de e^{x}. Sempre que você vir \sqrt{(\text{algo})^{2}-a^{2}} ou \sqrt{a^{2}-(\text{algo})^{2}}, tente uma substituição que faça esse “algo” virar a nova variável. Depois, verifique qual das fórmulas padrão (arctg, arcsen, arcsec, etc.) se ajusta. Outra forma equivalente de escrever a resposta, válida quando e^{x}\ge1, é usar a relação \operatorname{arcsec}(y)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr), obtendo \operatorname{arccos}\!\bigl(e^{-x}\bigr)+C.

Resposta

\operatorname{arcsec}\bigl(e^{x}\bigr)+C

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