Motivação da substituição: dentro da raiz temos e^{2x}, que é (e^{x})^{2}. Isso sugere trocar a função exponencial por uma nova variável para obter uma forma parecida com x^{2}-a^{2} das fórmulas dadas. Fazemos a substituição
u=e^{x}.
Agora calculamos o diferencial: derivando, du=e^{x}\,dx, portanto
dx=\frac{du}{u}.
Passo 3
Aplicamos a substituição na integral. Como e^{2x}=(e^{x})^{2}=u^{2}, a integral transforma-se em
Como e^{x}>0 sempre e, no domínio da integral, x>0 implica e^{x}>1, podemos simplificar o módulo e escrever simplesmente
\operatorname{arcsec}\bigl(e^{x}\bigr)+C.
Passo 6
Comentário didático final (como usar isso na prova): o truque foi identificar que e^{2x} é um quadrado perfeito de e^{x}. Sempre que você vir \sqrt{(\text{algo})^{2}-a^{2}} ou \sqrt{a^{2}-(\text{algo})^{2}}, tente uma substituição que faça esse “algo” virar a nova variável. Depois, verifique qual das fórmulas padrão (arctg, arcsen, arcsec, etc.) se ajusta. Outra forma equivalente de escrever a resposta, válida quando e^{x}\ge1, é usar a relação \operatorname{arcsec}(y)=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{y}\bigr), obtendo \operatorname{arccos}\!\bigl(e^{-x}\bigr)+C.