Domínio da integranda: dentro da raiz precisamos de 1-e^{-2x}>0, ou seja e^{-2x}<1, o que implica x>0. Portanto a substituição e a fórmula de arcsen serão aplicáveis em intervalos onde x>0.
Passo 2
Escolhemos uma substituição que torne a expressão dentro da raiz simples. Defina
t=e^{-x}.
Vamos calcular dt em função de dx. Diferenciando,
dt = -e^{-x}\,dx = -t\,dx.
Logo
dx = -\frac{dt}{t}.
Também observe que
\frac{1}{e^{x}} = e^{-x} = t.
Agora vamos reescrever a integranda em termos de t.
Voltando à variável original x pela substituição t=e^{-x}, obtemos a primitiva:
-\operatorname{arcsen}\bigl(e^{-x}\bigr)+C.
Lembre que a dedução está válida em intervalos onde x>0 (para que 0<e^{-x}<1 e a raiz seja real), mas a expressão obtida é uma primitiva geral válida por continuidade nos intervalos apropriados.