Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
  • \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C.
  • \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen} \frac{x}{a}+C,|x|<a.
  • \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,|x|>a.
    \int \frac{1}{e^{x} \sqrt{1-e^{-2 x}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{e^{x}\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx.
Informações e observações fornecidas pelo enunciado que são relevantes:
  • As fórmulas dadas que podemos usar incluem, em particular,
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}+C,\quad |x|<a,
que para a=1 vira
\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt=\operatorname{arcsen}(t)+C,\quad |t|<1.
  • Domínio da integranda: dentro da raiz precisamos de 1-e^{-2x}>0, ou seja e^{-2x}<1, o que implica x>0. Portanto a substituição e a fórmula de arcsen serão aplicáveis em intervalos onde x>0.

Passo 2

Escolhemos uma substituição que torne a expressão dentro da raiz simples. Defina
t=e^{-x}.
Vamos calcular dt em função de dx. Diferenciando,
dt = -e^{-x}\,dx = -t\,dx.
Logo
dx = -\frac{dt}{t}.
Também observe que
\frac{1}{e^{x}} = e^{-x} = t.
Agora vamos reescrever a integranda em termos de t.

Passo 3

Substituindo na integral:
\frac{1}{e^{x}\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx = \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dx.
Usando dx=-\dfrac{dt}{t} obtemos
\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\left(-\frac{dt}{t}\right) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt.
Portanto a integral original transforma-se em
\int \frac{1}{e^{x}\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx = -\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt.

Passo 4

Usamos a fórmula conhecida (com a=1):
\int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt = \operatorname{arcsen}(t)+C.
Com o sinal negativo à frente,
- \int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt = -\operatorname{arcsen}(t)+C.

Passo 5

Voltando à variável original x pela substituição t=e^{-x}, obtemos a primitiva:
-\operatorname{arcsen}\bigl(e^{-x}\bigr)+C.
Lembre que a dedução está válida em intervalos onde x>0 (para que 0<e^{-x}<1 e a raiz seja real), mas a expressão obtida é uma primitiva geral válida por continuidade nos intervalos apropriados.

Resposta

-\operatorname{arcsen}\bigl(e^{-x}\bigr)+C

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