Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A expressão integranda é
. - Não há outras condições (domínio implícito:
serve aqui).
Passo 2
Vamos simplificar algebricamente a função integranda usando propriedades de potências. Primeiro escrevemos
como
. Então
Agora usamos a regra de subtração de expoentes para a segunda fração:
Portanto a integranda se separa como soma simples:
Passo 3
Separe a integral nas duas partes obtidas:
Agora calculamos cada uma separadamente.
Passo 4
Calcular
.
Uma estratégia eficiente é tentar encontrar uma função simples cuja derivada seja exatamente
. Observa-se que a função
é uma boa candidata. Vamos verificar seu derivado usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando
:
Simplificando o segundo termo:
Portanto
Colocando em evidência
:
Logo a verificação deu certo e
Passo 5
Calcular
.
Este é um resultado padrão: a primitiva de
é a função arco-tangente. Ou seja,
porque
.
Passo 6
Juntando os dois resultados e reunindo as constantes de integração em uma única constante
, obtemos