Calcule as seguintes integrais
\int \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{\left(x^{2}+1\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A expressão integranda é \dfrac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{(x^{2}+1)^{3/2}}.
  • Não há outras condições (domínio implícito: x\in\mathbb{R} serve aqui).

Passo 2

Vamos simplificar algebricamente a função integranda usando propriedades de potências. Primeiro escrevemos \sqrt{x^{2}+1} como (x^{2}+1)^{1/2}. Então
\frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{(x^{2}+1)^{3/2}} = \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}+\frac{(x^{2}+1)^{1/2}}{(x^{2}+1)^{3/2}}.
Agora usamos a regra de subtração de expoentes para a segunda fração:
\frac{(x^{2}+1)^{1/2}}{(x^{2}+1)^{3/2}}=(x^{2}+1)^{1/2-3/2}=(x^{2}+1)^{-1}=\frac{1}{x^{2}+1}.
Portanto a integranda se separa como soma simples:
\frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{(x^{2}+1)^{3/2}} =\frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}+\frac{1}{x^{2}+1}.

Passo 3

Separe a integral nas duas partes obtidas:
\int \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx =\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Agora calculamos cada uma separadamente.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx.
Uma estratégia eficiente é tentar encontrar uma função simples cuja derivada seja exatamente (x^{2}+1)^{-3/2}. Observa-se que a função
F(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=x\,(x^{2}+1)^{-1/2}
é uma boa candidata. Vamos verificar seu derivado usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Derivando F(x):
F'(x)=1\cdot (x^{2}+1)^{-1/2}+x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+1)^{-3/2}\cdot 2x.
Simplificando o segundo termo:
x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2x=( -x^{2} ).
Portanto
F'(x)=(x^{2}+1)^{-1/2}-x^{2}(x^{2}+1)^{-3/2}.
Colocando em evidência (x^{2}+1)^{-3/2}:
F'(x)=\bigl((x^{2}+1)-x^{2}\bigr)(x^{2}+1)^{-3/2}=\frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}.
Logo a verificação deu certo e
\int \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C_1.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Este é um resultado padrão: a primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é a função arco-tangente. Ou seja,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C_2,
porque \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Juntando os dois resultados e reunindo as constantes de integração em uma única constante C, obtemos
\int \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{(x^{2}+1)^{3/2}}\,dx =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\arctan x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\arctan x + C

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