Determine o traço da superfície dada nos planos
,
. Identifique a superfície e faça um esboço dela.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Determinar o traço da superfície nos planos
(para arbitrário). - Identificar que tipo de superfície é a dada pela equação.
- Fazer um esboço (orientação/como desenhar) dessa superfície.
A superfície dada é
Não se resolve nada ainda neste passo; só listei o que precisamos entregar e a equação dada.
Passo 2
Traço no plano
.
Substitui-se
na equação da superfície. Assim, no plano
a equação fica
Interpretação didática e intuitiva:
- Nesse plano fixo, as coordenadas livres são
. A equação é a de uma parábola em variáveis (horizontal) e (vertical). - Coeficiente de
é positivo, portanto a parábola abre para cima no eixo (isto é, quando aumenta, aumenta). - O vértice ocorre em
e tem altura . Ou seja, o vértice está no ponto . - Exemplos rápidos: para
obtém-se (vértice em ); para obtém-se (vértice em ).
Esses traços são parábolas no plano vertical paralelo ao plano
.
Passo 3
Traço no plano
.
Substitui-se
na equação da superfície. Assim,
ou reorganizando
Interpretação didática e classificação:
- Esta é a equação geral de uma hipérbole no plano
. - Caso
pode escrever-se , que é uma hipérbole com eixo transverso ao longo de (abre nos sentidos ). - Caso
escrevendo tem-se , que é uma hipérbole com eixo transverso ao longo de (abre nos sentidos ). - Caso
a equação degenera para , ou seja : duas retas que se cruzam (caso degenerado da hipérbole).
Portanto os traços em planos horizontais
são hipérboles (ou duas retas quando
).
Passo 4
Traço no plano
.
Substitui-se
na equação da superfície. Assim,
Interpretação didática:
- No plano
as coordenadas livres são . A equação é de uma parábola em e . - O coeficiente de
é negativo, então a parábola abre para baixo em (isto é, quando aumenta, diminui). - O vértice ocorre em
e tem altura . Ou seja, vértice no ponto . - Exemplos: para
obtém-se (vértice em , abre para baixo); para obtém-se (vértice em ).
Esses traços são parábolas no plano horizontal paralelo ao plano
, abrindo para baixo.
Passo 5
Identificação da superfície (explicação conceitual).
A equação pode ser escrita como
Isto é uma superfície quadrática onde os termos quadráticos em
e
têm sinais opostos (um negativo, outro positivo). Propriedades importantes:
- Quando se fixa
a função em é uma parábola côncava para baixo; quando se fixa a função em é uma parábola côncava para cima. Esse comportamento — curvatura para sentidos opostos — é a marca de uma sela. - Matematicamente, a Hessiana (segunda derivadas) da função
é diagonal com entradas (para ) e (para ), ou seja autovalores de sinais contrários → ponto de sela no ponto crítico. - O nome padrão desta superfície é paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície em sela).
O ponto
é o ponto de sela (origin), porque
e em direções
e
a curvatura tem sinais opostos.
Passo 6
Como esboçar a superfície (passo a passo prático para fazer no papel):
- Escolha um sistema de eixos: desenhe
para a direita, para dentro/para fora (profundidade) e para cima. - Trace as interseções importantes:
- No plano
: desenhe a parábola no plano (abre para baixo). - No plano
: desenhe a parábola no plano (abre para cima). - No plano
: desenhe as duas retas (essas são os traços degenerados quando ).
- No plano
- Acrescente mais seções para dar forma:
- Para algumas alturas
com desenhe as hipérboles no plano ; elas mostram o “bico” que abre ao longo de . - Para
desenhe hipérboles correspondentes que abrem ao longo de .
- Para algumas alturas
- Una mentalmente (ou com linhas suaves) as curvas de seção para formar a superfície de sela: observe que em uma direção (eixo
) a superfície sobe como uma tigela; na direção perpendicular (eixo ) ela desce como uma valeta. - Marque o ponto de sela na origem
onde as curvas se cruzam.
Dica visual: imagine uma sela de cavalo: olhando ao longo de uma diagonal vê-se subida e descida nas direções ortogonais — é exatamente essa forma aqui.
Resposta
Traço em
:
(parábola no plano
, vértice em
).
Traço em :
(hipérbole no plano
; para
degenera em
).
Traço em :
(parábola no plano
, vértice em
).
Identificação da superfície: paraboloide hiperbólico (superfície em sela), com ponto de sela em .
Traço em
Traço em
Identificação da superfície: paraboloide hiperbólico (superfície em sela), com ponto de sela em