Determine o traço da superfície dada nos planos x=k, y=k, z=k. Identifique a superfície e faça um esboço dela.
y=z^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Determinar o traço da superfície nos planos \;x=k\;,\;y=k\;,\;z=k\; (para k arbitrário).
  • Identificar que tipo de superfície é a dada pela equação.
  • Fazer um esboço (orientação/como desenhar) dessa superfície.
A superfície dada é
y = z^{2} - x^{2}.
Não se resolve nada ainda neste passo; só listei o que precisamos entregar e a equação dada.

Passo 2

Traço no plano \;x=k.
Substitui-se x=k na equação da superfície. Assim, no plano \;x=k\; a equação fica
y = z^{2} - k^{2}.
Interpretação didática e intuitiva:
  • Nesse plano fixo, as coordenadas livres são (z,y). A equação é a de uma parábola em variáveis z (horizontal) e y (vertical).
  • Coeficiente de z^{2} é positivo, portanto a parábola abre para cima no eixo y (isto é, quando |z| aumenta, y aumenta).
  • O vértice ocorre em z=0 e tem altura y=-k^{2}. Ou seja, o vértice está no ponto (x=k,\;z=0,\;y=-k^{2}).
  • Exemplos rápidos: para k=0 obtém-se y=z^{2} (vértice em y=0); para k=1 obtém-se y=z^{2}-1 (vértice em y=-1).
Esses traços são parábolas no plano vertical paralelo ao plano yz.

Passo 3

Traço no plano \;y=k.
Substitui-se y=k na equação da superfície. Assim,
k = z^{2} - x^{2},
ou reorganizando
z^{2} - x^{2} = k.
Interpretação didática e classificação:
  • Esta é a equação geral de uma hipérbole no plano (x,z).
  • Caso k>0 pode escrever-se \dfrac{z^{2}}{k}-\dfrac{x^{2}}{k}=1, que é uma hipérbole com eixo transverso ao longo de z (abre nos sentidos \pm z).
  • Caso k<0 escrevendo -k>0 tem-se \dfrac{x^{2}}{-k}-\dfrac{z^{2}}{-k}=1, que é uma hipérbole com eixo transverso ao longo de x (abre nos sentidos \pm x).
  • Caso k=0 a equação degenera para z^{2}-x^{2}=0, ou seja z=\pm x: duas retas que se cruzam (caso degenerado da hipérbole).
Portanto os traços em planos horizontais y=k são hipérboles (ou duas retas quando k=0).

Passo 4

Traço no plano \;z=k.
Substitui-se z=k na equação da superfície. Assim,
y = k^{2} - x^{2}.
Interpretação didática:
  • No plano \;z=k\; as coordenadas livres são (x,y). A equação é de uma parábola em x e y.
  • O coeficiente de x^{2} é negativo, então a parábola abre para baixo em y (isto é, quando |x| aumenta, y diminui).
  • O vértice ocorre em x=0 e tem altura y=k^{2}. Ou seja, vértice no ponto (x=0,\;y=k^{2},\;z=k).
  • Exemplos: para k=0 obtém-se y=-x^{2} (vértice em y=0, abre para baixo); para k=1 obtém-se y=1-x^{2} (vértice em y=1).
Esses traços são parábolas no plano horizontal paralelo ao plano xy, abrindo para baixo.

Passo 5

Identificação da superfície (explicação conceitual).
A equação pode ser escrita como
y = -x^{2} + z^{2}.
Isto é uma superfície quadrática onde os termos quadráticos em x e z têm sinais opostos (um negativo, outro positivo). Propriedades importantes:
  • Quando se fixa z a função em x é uma parábola côncava para baixo; quando se fixa x a função em z é uma parábola côncava para cima. Esse comportamento — curvatura para sentidos opostos — é a marca de uma sela.
  • Matematicamente, a Hessiana (segunda derivadas) da função f(x,z)=z^{2}-x^{2} é diagonal com entradas -2 (para x) e +2 (para z), ou seja autovalores de sinais contrários → ponto de sela no ponto crítico.
  • O nome padrão desta superfície é paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície em sela).
O ponto (0,0,0) é o ponto de sela (origin), porque y(0,0)=0 e em direções x e z a curvatura tem sinais opostos.

Passo 6

Como esboçar a superfície (passo a passo prático para fazer no papel):
  1. Escolha um sistema de eixos: desenhe x para a direita, z para dentro/para fora (profundidade) e y para cima.
  2. Trace as interseções importantes:
    • No plano z=0: desenhe a parábola y=-x^{2} no plano z=0 (abre para baixo).
    • No plano x=0: desenhe a parábola y=z^{2} no plano x=0 (abre para cima).
    • No plano y=0: desenhe as duas retas z=\pm x (essas são os traços degenerados quando k=0).
  3. Acrescente mais seções para dar forma:
    • Para algumas alturas y=k com k>0 desenhe as hipérboles z^{2}-x^{2}=k no plano y=k; elas mostram o “bico” que abre ao longo de z.
    • Para y<0 desenhe hipérboles correspondentes que abrem ao longo de x.
  4. Una mentalmente (ou com linhas suaves) as curvas de seção para formar a superfície de sela: observe que em uma direção (eixo z) a superfície sobe como uma tigela; na direção perpendicular (eixo x) ela desce como uma valeta.
  5. Marque o ponto de sela na origem (0,0,0) onde as curvas se cruzam.
Dica visual: imagine uma sela de cavalo: olhando ao longo de uma diagonal vê-se subida e descida nas direções ortogonais — é exatamente essa forma aqui.

Resposta

Traço em x=k: \;y = z^{2} - k^{2}\; (parábola no plano yz, vértice em (x=k,\;z=0,\;y=-k^{2})).
Traço em y=k: \;z^{2} - x^{2} = k\; (hipérbole no plano xz; para k=0 degenera em z=\pm x).
Traço em z=k: \;y = k^{2} - x^{2}\; (parábola no plano xy, vértice em (x=0,\;y=k^{2},\;z=k)).
Identificação da superfície: paraboloide hiperbólico (superfície em sela), com ponto de sela em (0,0,0).

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