Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando
aumenta.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por
e pede que se esboce o gráfico (ou seja, a imagem da curva no espaço) e que se indique com uma seta a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.
Informações explícitas que o enunciado dá:
Informações explícitas que o enunciado dá:
- A parametrização:
. - Não foi dado domínio explicitado, portanto considerar
(todos os reais), salvo indicação contrária.
O que se pede: - Fazer um esboço da curva no espaço tridimensional.
- Indicar a direção de percurso quando
aumenta (seta).
Passo 2
Entender as coordenadas e suas relações: cada componente é uma potência de
.
- A coordenada
é . Assim para todo . - A coordenada
é . Logo
- A coordenada
é . Logo
Essas duas relações permitem descrever a curva sem o parâmetro: é o conjunto de pontos
com
Isso já é uma descrição muito útil para desenhar: a curva é a interseção das superfícies
e
, restrita a
.
Passo 3
Analisar o comportamento para valores concretos de
(pontos de amostra — importante para esboçar):
- Para
: (origem). - Para
: . - Para
: . - Para
: (o mesmo ponto de ). - Para
: (o mesmo ponto de ).
Observe que. Ou seja, a parametrização não é injetiva: pontos correspondentes a e coincidem. Portanto a imagem geométrica da curva corresponde apenas a e é percorrida “duas vezes” pela parametrização (uma vez para e outra para ).
Passo 4
Como esboçar a curva passo a passo (receita prática para fazer à mão na prova):
- No plano
projete a curva: a projeção satisfaz com . Isto é meio-parábola (só a parte direita da parábola). - No plano
projete a curva: a projeção satisfaz com . É uma cúbica que sobe para conforme cresce. - Combine as duas informações: para cada
a altura é e a altura é . Comece no ponto (origem). À medida que aumenta, cresce como quadrado e cresce ainda mais rapidamente como cubo, fazendo a curva subir no sentido positivo de e enquanto se afasta do plano .
Dica prática de desenho: desenhe o eixoà direita, marque alguns (0,1,2), desenhe a parábola no semieixo positivo, e dê a cada ponto a elevação (pequena para pequeno, grande para maior). Assim obtém-se a ``linha curva’’ que sobe e inclina para cima conforme cresce.
Passo 5
Determinar a direção (seta) quando
aumenta usando a velocidade paramétrica:
- Calcule a derivada
- Interprete os sinais:
- Para
todos os componentes de são positivos, portanto quando aumenta em valores positivos o ponto move-se no sentido de aumentar : sai da origem em direção a pontos com maiores . - Para
todos os componentes de são negativos, portanto quando aumenta (por exemplo, de para para ) o ponto move-se no sentido de diminuir , ou seja, em direção ao origin (pois diminui quando diminui). - Em
tem-se , velocidade nula no instante (o ponto fica momentaneamente estacionário na parametrização).
- Para
- Conclusão prática sobre direção: para
o sentido de aumento de é ir de pontos com grande em direção à origem; para o sentido de aumento de é ir da origem para pontos com maior . No desenho, normalmente se marca uma seta apontando para fora a partir da origem para indicar a direção de crescimento quando se considera ; se quiser mostrar todo o movimento desde até , desenhe setas apontando para a origem ao longo da curva à esquerda (isso representa aumentando dentro de ) e setas apontando para fora a partir da origem para .
Passo 6
Resumo geométrico e observações úteis (para a prova):
- A imagem da curva é o conjunto
- A parametrização cumpre
, então cada ponto com é atingido por dois valores de (um positivo e o simétrico negativo). O ponto é atingido somente por . - A direção para
é do origem para pontos com maiores (seta saindo da origem). Para a direção ao aumentar é a oposta (seta apontando para a origem). - A curva é suave para
. Em a velocidade é zero, então na parametrização o ponto é estacionário naquele instante; geometricamente a curva é contínua e passa pela origem sem “saltar”.
Passo 7
Instruções curtas de desenho final (o que realmente desenhar num rascunho):
- Desenhe eixos coordenados
, , com apontando à direita. - No plano
desenhe a parábola direita apenas para . - Eleve cada ponto segundo
: para o ponto fica em ; para o ponto está em e para em (bem acima). Ligue suavemente esses pontos formando uma curva ascendente. - Marque uma seta apontando para fora da origem ao longo da curva para indicar o sentido de crescimento quando
aumenta com . Se quiser mostrar todo o percurso de a , coloque setas apontando para a origem ao longo da curva para a parte correspondente a e setas para fora a partir da origem para .
Resposta
A curva é o conjunto
.
A direção quando aumenta é: para
o ponto move-se em direção à origem (setas apontando para a origem); para
o ponto parte da origem em direção a maiores
(seta saindo da origem).
A direção quando