Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
\alpha(t)=\left(t^{2}, t^{4}, t^{6}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por \alpha(t)=\left(t^{2},t^{4},t^{6}\right) e pede que se esboce o gráfico (ou seja, a imagem da curva no espaço) e que se indique com uma seta a direção em que a curva é traçada quando t aumenta.
Informações explícitas que o enunciado dá:
  • A parametrização: \alpha(t)=\bigl(t^{2},t^{4},t^{6}\bigr).
  • Não foi dado domínio explicitado, portanto considerar t\in\mathbb{R} (todos os reais), salvo indicação contrária.
    O que se pede:
  • Fazer um esboço da curva no espaço tridimensional.
  • Indicar a direção de percurso quando t aumenta (seta).

Passo 2

Entender as coordenadas e suas relações: cada componente é uma potência de t.
  • A coordenada x é x=t^{2}. Assim x\ge 0 para todo t.
  • A coordenada y é y=t^{4}=(t^{2})^{2}=x^{2}. Logo
y = x^{2}.
  • A coordenada z é z=t^{6}=(t^{2})^{3}=x^{3}. Logo
z = x^{3}.
Essas duas relações permitem descrever a curva sem o parâmetro: é o conjunto de pontos \bigl(x,y,z\bigr) com
x\ge 0,\qquad y=x^{2},\qquad z=x^{3}.
Isso já é uma descrição muito útil para desenhar: a curva é a interseção das superfícies y=x^{2} e z=x^{3}, restrita a x\ge 0.

Passo 3

Analisar o comportamento para valores concretos de t (pontos de amostra — importante para esboçar):
  • Para t=0: \alpha(0)=(0,0,0) (origem).
  • Para t=1: \alpha(1)=(1,1,1).
  • Para t=2: \alpha(2)=(4,16,64).
  • Para t=-1: \alpha(-1)=(1,1,1) (o mesmo ponto de t=1).
  • Para t=-2: \alpha(-2)=(4,16,64) (o mesmo ponto de t=2).
    Observe que \alpha(-t)=\alpha(t). Ou seja, a parametrização não é injetiva: pontos correspondentes a t e -t coincidem. Portanto a imagem geométrica da curva corresponde apenas a x\ge 0 e é percorrida “duas vezes” pela parametrização (uma vez para t\ge0 e outra para t\le0).

Passo 4

Como esboçar a curva passo a passo (receita prática para fazer à mão na prova):
  1. No plano xy projete a curva: a projeção satisfaz y=x^{2} com x\ge0. Isto é meio-parábola (só a parte direita da parábola).
  2. No plano xz projete a curva: a projeção satisfaz z=x^{3} com x\ge0. É uma cúbica que sobe para z conforme x cresce.
  3. Combine as duas informações: para cada x\ge0 a altura y é x^{2} e a altura z é x^{3}. Comece no ponto x=0 (origem). À medida que x aumenta, y cresce como quadrado e z cresce ainda mais rapidamente como cubo, fazendo a curva subir no sentido positivo de y e z enquanto se afasta do plano yz.
    Dica prática de desenho: desenhe o eixo x à direita, marque alguns x (0,1,2), desenhe a parábola y=x^{2} no semieixo positivo, e dê a cada ponto a elevação z=x^{3} (pequena para x pequeno, grande para x maior). Assim obtém-se a ``linha curva’’ que sobe e inclina para cima conforme x cresce.

Passo 5

Determinar a direção (seta) quando t aumenta usando a velocidade paramétrica:
  • Calcule a derivada
\alpha'(t)=\bigl(2t,\,4t^{3},\,6t^{5}\bigr).
  • Interprete os sinais:
    • Para t>0 todos os componentes de \alpha'(t) são positivos, portanto quando t aumenta em valores positivos o ponto move-se no sentido de aumentar x,y,z: sai da origem em direção a pontos com maiores x,y,z.
    • Para t<0 todos os componentes de \alpha'(t) são negativos, portanto quando t aumenta (por exemplo, de -2 para -1 para 0) o ponto move-se no sentido de diminuir x,y,z, ou seja, em direção ao origin (pois x=t^{2} diminui quando |t| diminui).
    • Em t=0 tem-se \alpha'(0)=(0,0,0), velocidade nula no instante 0 (o ponto fica momentaneamente estacionário na parametrização).
  • Conclusão prática sobre direção: para t<0 o sentido de aumento de t é ir de pontos com grande x em direção à origem; para t>0 o sentido de aumento de t é ir da origem para pontos com maior x. No desenho, normalmente se marca uma seta apontando para fora a partir da origem para indicar a direção de crescimento quando se considera t\ge 0; se quiser mostrar todo o movimento desde t=-\infty até t=+\infty, desenhe setas apontando para a origem ao longo da curva à esquerda (isso representa t aumentando dentro de (-\infty,0]) e setas apontando para fora a partir da origem para t>0.

Passo 6

Resumo geométrico e observações úteis (para a prova):
  • A imagem da curva é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x\ge 0,\; y=x^{2},\; z=x^{3}\}.
  • A parametrização cumpre \alpha(-t)=\alpha(t), então cada ponto com x>0 é atingido por dois valores de t (um positivo e o simétrico negativo). O ponto (0,0,0) é atingido somente por t=0.
  • A direção para t>0 é do origem para pontos com x,y,z maiores (seta saindo da origem). Para t<0 a direção ao aumentar t é a oposta (seta apontando para a origem).
  • A curva é suave para t\neq 0. Em t=0 a velocidade é zero, então na parametrização o ponto é estacionário naquele instante; geometricamente a curva é contínua e passa pela origem sem “saltar”.

Passo 7

Instruções curtas de desenho final (o que realmente desenhar num rascunho):
  1. Desenhe eixos coordenados x, y, z com x apontando à direita.
  2. No plano xy desenhe a parábola direita y=x^{2} apenas para x\ge0.
  3. Eleve cada ponto segundo z=x^{3}: para x=0 o ponto fica em (0,0,0); para x=1 o ponto está em (1,1,1) e para x=2 em (4,16,64) (bem acima). Ligue suavemente esses pontos formando uma curva ascendente.
  4. Marque uma seta apontando para fora da origem ao longo da curva para indicar o sentido de crescimento quando t aumenta com t>0. Se quiser mostrar todo o percurso de -\infty a +\infty, coloque setas apontando para a origem ao longo da curva para a parte correspondente a t<0 e setas para fora a partir da origem para t>0.

Resposta

A curva é o conjunto \{(x,y,z):x\ge 0,\;y=x^{2},\;z=x^{3}\}.
A direção quando t aumenta é: para t<0 o ponto move-se em direção à origem (setas apontando para a origem); para t>0 o ponto parte da origem em direção a maiores x,y,z (seta saindo da origem).

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