Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}\,dx.
O conteúdo é decomposição em frações parciais de função racional. Vamos separar em termos mais simples para depois integrar cada um.

Passo 2

Assumimos a seguinte forma de decomposição:
\frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C x+D}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x^{2}+1) segue
x^{2}+2 x-1 = A(x-1)(x^{2}+1)+B(x^{2}+1)+(C x+D)(x-1)^{2}.
Expandindo e comparando coeficientes resulta no sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ -\,A + B - 2\,C + D = 1,\\\ A + C - 2\,D = 2,\\\\ -\,A + B + D = -1. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
(1) C=-A.
(3) A+C-2D=2 0-2D=2\Rightarrow D=-1.
(4) -A+B+D=-1 com D=-1 -A+B-1=-1\Rightarrow B=A.
(2) -A+B-2C+D=1 com C=-A, B=A, D=-1 A+A-1=1\Rightarrow A=1.
Logo
A=1,\;B=1,\;C=-1,\;D=-1.

Passo 4

Substituindo na integral, escrevemos
\frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)} =\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{x+1}{x^{2}+1}.
Assim
\int \frac{x^{2}+2 x-1}{(x-1)^{2}(x^{2}+1)}\,dx =\int \frac{1}{x-1}\,dx +\int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx -\int \frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx.
Calculamos cada parte: \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln\lvert x-1\rvert, \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx=-\frac{1}{x-1},
\int \frac{x+1}{x^{2}+1}\,dx =\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx =\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+\arctan(x).
Portanto, somando com o sinal menos, obtemos

Resposta

\boxed{ \ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{x-1} -\tfrac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) -\arctan(x) +C }.

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