Determine o raio de convergência da série de potências dada.
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n}.
O conteúdo aqui é encontrar o raio de convergência usando, por exemplo, o teste da razão ou o teste da raiz.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definimos a_{n}=2^{n}x^{n} e calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2^{n+1}x^{n+1}}{2^{n}x^{n}}\right| =|2x|.

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se
|2x|<1,
isto é,
|x|<\tfrac12.
Portanto, o raio de convergência é
R=\tfrac12.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac12.

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