\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1){n+1}=\sum_{n=1}{\infty} a_{n-1}(x-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-1)^{n+1}
pode ser reescrita como
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}(x-1)^{n}.
O conteúdo envolve manipulação de somatórios por mudança de índice.

Passo 2

Fazemos a reindexação definindo m = n+1. Então, quando n=0 temos m=1 e quando n\to\infty temos m\to\infty. Além disso, n = m-1. Substituindo na soma original:
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-1)^{n+1} = \sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}(x-1)^{m}.

Passo 3

Como o índice de soma é fictício, podemos renomear m para n sem alterar o valor da série, obtendo
\sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}(x-1)^{m} = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}(x-1)^{n}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-1)^{n+1} \;=\; \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}(x-1)^{n}.

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