Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais seguida de integrais padrão do tipo \int dx/(x^2+a^2).

Passo 2

Vamos escrever a fração parcial no formato
\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} =\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x^2+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+4), obtemos
1 = A(x^2+4) + B(x^2+1).

Passo 3

Expanda e agrupe em potências de x\): \[1 = (A+B)x^2 + (4A + B).
Igualando coeficientes de x^2 e termo constante, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 4A + B = 1. \end{cases}
Da primeira equação (B=-A]. Substituindo na segunda:
4A + (-A) = 1 \;\;\Rightarrow\;\; 3A = 1 \;\;\Rightarrow\;\; A = \tfrac{1}{3}, \;\; B = -\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} =\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^2+1} -\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^2+4}.
Usamos as fórmulas padrões:
\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x), \qquad \int \frac{dx}{x^2+4} = \int \frac{dx}{x^2+(2)^2} = \frac{1}{2}\arctan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Passo 5

Podemos combinar fatores:
\frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) = \frac{2\,\arctan(x) - \arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{6}.

Resposta

\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = \frac{1}{3}\arctan(x) - \frac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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