Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x^{3}+1}{\left(x^{2}-16\right)(x-5)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^3+1}{\bigl(x^2-16\bigr)\,(x-5)^3}\,dx.
Isso é uma função racional, e a técnica mais adequada é a decomposição em frações parciais, seguida da integração de termos simples do tipo \frac{1}{x-a} ou \frac{1}{(x-a)^n}.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2-16=(x-4)(x+4),
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\frac{x^3+1}{(x-4)(x+4)(x-5)^3} = \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+4}+\frac{C}{x-5}+\frac{D}{(x-5)^2}+\frac{E}{(x-5)^3}.
Multiplicamos ambos os lados por (x-4)(x+4)(x-5)^3 e obtemos a identidade
x^3+1 = A\,(x+4)(x-5)^3 + B\,(x-4)(x-5)^3 + C\,(x-4)(x+4)(x-5)^2 + D\,(x-4)(x+4)(x-5) + E\,(x-4)(x+4).

Passo 3

Para achar A,B,E usamos valores especiais de x:
  • Em x=4: 4^3+1=65 e só sobrevive o termo em A, pois (4-5)^3\neq0.
65 = A\,(4+4)\,(-1)^3 = -8A \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{65}{8}.
  • Em x=-4: (-4)^3+1=-63 e só sobrevive o termo em B.
-63 = B\,(-8)\,(-9)^3 = 5832\,B \quad\Longrightarrow\quad B=-\frac{63}{5832}=-\frac{7}{648}.
  • Em x=5: 5^3+1=126 e só sobrevive o termo em E.
126 = E\,(5-4)(5+4)=9E \quad\Longrightarrow\quad E=14.

Passo 4

Para C e D substituímos valores numéricos (por exemplo x=0 e x=1) na identidade completa e resolvemos o sistema:
Em x=0 obtemos
-400C +80D = -\frac{310400}{81} \quad\Longrightarrow\quad -5C + D = -\frac{3880}{81},
em x=1 obtemos
-240C +60D = -\frac{64420}{27} \quad\Longrightarrow\quad -4C + D = -\frac{3221}{81}.
Subtraindo as duas equações segue
C=\frac{659}{81}, \quad D=-\frac{65}{9}.

Passo 5

Logo a decomposição final é
\frac{x^3+1}{(x-4)(x+4)(x-5)^3} = -\frac{65}{8}\,\frac1{x-4} -\frac{7}{648}\,\frac1{x+4} +\frac{659}{81}\,\frac1{x-5} -\frac{65}{9}\,\frac1{(x-5)^2} +14\,\frac1{(x-5)^3}.
Assim
\int \frac{x^3+1}{(x^2-16)(x-5)^3}\,dx = -\frac{65}{8}\int\frac{dx}{x-4} -\frac{7}{648}\int\frac{dx}{x+4} +\frac{659}{81}\int\frac{dx}{x-5} -\frac{65}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2} +14\int\frac{dx}{(x-5)^3}.

Passo 6

Calculamos cada integral simples:
\int\frac{dx}{x-a}=\ln\lvert x-a\rvert, \quad \int\frac{dx}{(x-a)^2}=-\frac1{x-a}, \quad \int\frac{dx}{(x-a)^3}=-\frac1{2(x-a)^2}.
Aplicando:
\int \frac{x^3+1}{(x^2-16)(x-5)^3}\,dx = -\frac{65}{8}\ln\lvert x-4\rvert -\frac{7}{648}\ln\lvert x+4\rvert +\frac{659}{81}\ln\lvert x-5\rvert +\frac{65}{9(x-5)} -\frac{7}{(x-5)^2} + C.

Resposta

\boxed{ -\frac{65}{8}\,\ln\lvert x-4\rvert -\frac{7}{648}\,\ln\lvert x+4\rvert +\frac{659}{81}\,\ln\lvert x-5\rvert +\frac{65}{9(x-5)} -\frac{7}{(x-5)^2} + C. }

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