Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O integrando é composto por três parcelas:
, e . - O intervalo de integração é
, que inclui o ponto . - Observação importante: a parcela
tem um termo , que é singular em . Isso indica que a integral é imprópria (há potencial divergência em ) — anote isso, pois precisaremos testar o comportamento perto de .
Passo 2
Vamos simplificar algebricamente o integrando para enxergar melhor o problema. Começo pela fração:
Somando com o primeiro termo
do integrando, obtemos
Portanto o integrando completo fica
Passo 3
Como há singularidade em
, tratamos a integral como integral imprópria, definindo-a por limite:
A estratégia é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função integranda e depois avaliar o limite quando
.
Passo 4
Calculamos a primitiva termo a termo. Primeiro usamos a identidade trigonométrica
porque sabemos integrar
facilmente (a primitiva de
é
). Agora integro cada parcela:
Somando as primitivas obtidas:
Verifique: derivando
volta-se ao integrando original (cheque mental ou cálculo rápido).
Passo 5
Agora avaliamos a integral imprópria usando
. Para
,
Calcule
. Sabendo
,
Agora observe o comportamento de
quando
. Temos
Quando
, os termos
e
tendem a
(pois
para pequeno
), mas o termo
tende a
. Portanto
Logo, ao tomar a diferença para obter a integral,
Isto significa que a integral diverge para
.
(Observação rápida alternativa: basta notar que
é maior que
para
próximo de
e que
diverge, pelo teste de comparação já se vê a divergência.)
Resposta
A integral diverge e seu valor é
.