Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\pi / 3} 3+3 \operatorname{tg}^{2} \theta+\frac{3 \theta^{2}+3}{\theta^{2}} d \theta

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{0}^{\pi/3}\left(3+3\operatorname{tg}^{2}\theta+\frac{3\theta^{2}+3}{\theta^{2}}\right)d\theta.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O integrando é composto por três parcelas: 3, 3\operatorname{tg}^{2}\theta e \dfrac{3\theta^{2}+3}{\theta^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,\pi/3], que inclui o ponto \theta=0.
  • Observação importante: a parcela \dfrac{3\theta^{2}+3}{\theta^{2}} tem um termo \dfrac{3}{\theta^{2}}, que é singular em \theta=0. Isso indica que a integral é imprópria (há potencial divergência em 0) — anote isso, pois precisaremos testar o comportamento perto de 0.

Passo 2

Vamos simplificar algebricamente o integrando para enxergar melhor o problema. Começo pela fração:
\frac{3\theta^{2}+3}{\theta^{2}}=3+\frac{3}{\theta^{2}}.
Somando com o primeiro termo 3 do integrando, obtemos
3 + \left(3+\frac{3}{\theta^{2}}\right)=6+\frac{3}{\theta^{2}}.
Portanto o integrando completo fica
6+3\operatorname{tg}^{2}\theta+\frac{3}{\theta^{2}}.

Passo 3

Como há singularidade em \theta=0, tratamos a integral como integral imprópria, definindo-a por limite:
\int_{0}^{\pi/3}\left(6+3\operatorname{tg}^{2}\theta+\frac{3}{\theta^{2}}\right)d\theta =\lim_{a\to 0^{+}}\int_{a}^{\pi/3}\left(6+3\operatorname{tg}^{2}\theta+\frac{3}{\theta^{2}}\right)d\theta.
A estratégia é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função integranda e depois avaliar o limite quando a\to 0^{+}.

Passo 4

Calculamos a primitiva termo a termo. Primeiro usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{tg}^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1,
porque sabemos integrar \operatorname{sec}^{2}\theta facilmente (a primitiva de \operatorname{sec}^{2}\theta é \operatorname{tg}\theta). Agora integro cada parcela:
  • \displaystyle \int 6\,d\theta = 6\theta.
  • \displaystyle \int 3\operatorname{tg}^{2}\theta\,d\theta =3\int(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta =3\operatorname{tg}\theta-3\theta.
  • \displaystyle \int \frac{3}{\theta^{2}}\,d\theta =3\int \theta^{-2}\,d\theta =3\left(-\frac{1}{\theta}\right)=-\frac{3}{\theta}.
Somando as primitivas obtidas:
F(\theta)=6\theta + \bigl(3\operatorname{tg}\theta-3\theta\bigr)-\frac{3}{\theta} =3\theta+3\operatorname{tg}\theta-\frac{3}{\theta}.
Verifique: derivando F(\theta) volta-se ao integrando original (cheque mental ou cálculo rápido).

Passo 5

Agora avaliamos a integral imprópria usando F. Para 0<a<\pi/3,
\int_{a}^{\pi/3}\left(6+3\operatorname{tg}^{2}\theta+\frac{3}{\theta^{2}}\right)d\theta =F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)-F(a).
Calcule F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right). Sabendo \operatorname{tg}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3},
F\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=3\cdot\frac{\pi}{3}+3\sqrt{3}-\frac{3}{\pi/3} =\pi+3\sqrt{3}-\frac{9}{\pi}.
Agora observe o comportamento de F(a) quando a\to 0^{+}. Temos
F(a)=3a+3\operatorname{tg}a-\frac{3}{a}.
Quando a\to 0^{+}, os termos 3a e 3\operatorname{tg}a tendem a 0 (pois \operatorname{tg}a\sim a para pequeno a), mas o termo -\dfrac{3}{a} tende a -\infty. Portanto
\lim_{a\to 0^{+}}F(a)=-\infty.
Logo, ao tomar a diferença para obter a integral,
\lim_{a\to 0^{+}}\bigl(F(\tfrac{\pi}{3})-F(a)\bigr)=F(\tfrac{\pi}{3})-(-\infty)=+\infty.
Isto significa que a integral diverge para +\infty.
(Observação rápida alternativa: basta notar que \dfrac{3}{\theta^{2}} é maior que \dfrac{c}{\theta^{2}} para c>0 próximo de 0 e que \int_{0}^{\varepsilon}\theta^{-2}d\theta diverge, pelo teste de comparação já se vê a divergência.)

Resposta

A integral diverge e seu valor é +\infty.

Exercícios relacionados