Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\left(t^{6}+3\right)^{2}}{t^{4}} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do próprio enunciado):
  • Dada a integral \displaystyle \int \frac{\left(t^{6}+3\right)^{2}}{t^{4}}\,dt.
  • Pede-se calcular essa integral indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva + constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado do numerador para ver termos que possamos simplificar facilmente.
\left(t^{6}+3\right)^{2}=t^{12}+2\cdot t^{6}\cdot 3 + 3^{2}=t^{12}+6t^{6}+9.

Passo 3

Agora dividir cada termo por t^{4} (isto é, aplicar a propriedade de divisão termo a termo):
\frac{t^{12}+6t^{6}+9}{t^{4}}=t^{12-4}+6t^{6-4}+9t^{-4}=t^{8}+6t^{2}+9t^{-4}.
Portanto a integral fica
\int \frac{\left(t^{6}+3\right)^{2}}{t^{4}}\,dt=\int\bigl(t^{8}+6t^{2}+9t^{-4}\bigr)\,dt.

Passo 4

Regras básicas que vou usar (explicadas como numa aulinha rápida):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int\bigl(a(t)+b(t)\bigr)\,dt=\int a(t)\,dt+\int b(t)\,dt, \qquad \int c\cdot a(t)\,dt=c\int a(t)\,dt.
Exemplo simples: \displaystyle \int (2t+3)\,dt=\int 2t\,dt+\int 3\,dt.
  • Regra do poder (power rule) para integrais: para um expoente n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque ao derivar \dfrac{t^{n+1}}{n+1} obtemos \dfrac{(n+1)t^{n}}{n+1}=t^{n}, então é uma primitiva. Exemplo: \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}+C.

Passo 5

Aplicar a linearidade e a regra do poder termo a termo à nossa integral:
\int\bigl(t^{8}+6t^{2}+9t^{-4}\bigr)\,dt =\int t^{8}\,dt + 6\int t^{2}\,dt + 9\int t^{-4}\,dt.
Calcular cada uma:
  • \displaystyle \int t^{8}\,dt=\frac{t^{9}}{9}, porque aqui n=8 e \dfrac{t^{8+1}}{8+1}=\dfrac{t^{9}}{9}.
  • \displaystyle 6\int t^{2}\,dt=6\cdot\frac{t^{3}}{3}=2t^{3}, porque \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}.
  • \displaystyle 9\int t^{-4}\,dt=9\cdot\frac{t^{-3}}{-3} = -3t^{-3}, porque \int t^{-4}\,dt=\dfrac{t^{-3}}{-3} (note que aqui n=-4\neq-1, então a fórmula vale).

Passo 6

Juntando os termos e adicionando a constante de integração C:
\frac{t^{9}}{9}+2t^{3}-3t^{-3}+C.
Opcionalmente reescrever o termo final com fração:
\frac{t^{9}}{9}+2t^{3}-\frac{3}{t^{3}}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{t^{9}}{9}+2t^{3}-\frac{3}{t^{3}}+C

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