Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), portanto o resultado deverá conter uma constante de integração
.
Passo 2
Simplificar a expressão algébrica da integranda antes de integrar é uma boa ideia. Lembrando a definição trigonométrica:
Substituindo na integranda:
Portanto a integral fica
Outra notação útil é
logo a integral é
Passo 3
Agora precisamos lembrar (ou demonstrar) qual é a primitiva de
. Uma forma direta é usar que
Vamos calcular a derivada de
para ver que ela é
. Usando a regra do quociente, se
e
então
No numerador temos
, e como
, obtemos
Passo 4
Como a derivada de
é
, segue que uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
(Método alternativo — útil para treinar): usar substituição
. Então
. A integral torna-se
confirmando o mesmo resultado.
Passo 6
Dica rápida para a prova: ao ver
pense "sec é
", então geralmente vira
, e aí reconhece-se
, que é a derivada de
. Respira fundo, faz a simplificação e resolve na hora.