Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\operatorname{sec} (t)}{\cos (t)} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}(t)}{\cos(t)}\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{sec}(t)}{\cos(t)}.
  • Quer-se uma antiderivada (integral indefinida), portanto o resultado deverá conter uma constante de integração C.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica da integranda antes de integrar é uma boa ideia. Lembrando a definição trigonométrica:
\operatorname{sec}(t)=\frac{1}{\cos(t)}.
Substituindo na integranda:
\frac{\operatorname{sec}(t)}{\cos(t)}=\frac{1/\cos(t)}{\cos(t)}=\frac{1}{\cos^2(t)}.
Portanto a integral fica
\int \frac{\operatorname{sec}(t)}{\cos(t)}\,dt=\int \frac{1}{\cos^2(t)}\,dt.
Outra notação útil é
\frac{1}{\cos^2(t)}=\operatorname{sec}^2(t),
logo a integral é
\int \operatorname{sec}^2(t)\,dt.

Passo 3

Agora precisamos lembrar (ou demonstrar) qual é a primitiva de \operatorname{sec}^2(t). Uma forma direta é usar que
\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}.
Vamos calcular a derivada de \tan(t) para ver que ela é \operatorname{sec}^2(t). Usando a regra do quociente, se u(t)=\sin(t) e v(t)=\cos(t) então
\frac{d}{dt}\tan(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right) =\frac{\cos(t)\cdot\cos(t)-\sin(t)\cdot(-\sin(t))}{\cos^2(t)}.
No numerador temos \cos^2(t)+\sin^2(t), e como \sin^2(t)+\cos^2(t)=1, obtemos
\frac{d}{dt}\tan(t)=\frac{1}{\cos^2(t)}=\operatorname{sec}^2(t).

Passo 4

Como a derivada de \tan(t) é \operatorname{sec}^2(t), segue que uma primitiva de \operatorname{sec}^2(t) é \tan(t). Portanto
\int \operatorname{sec}^2(t)\,dt=\tan(t)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

(Método alternativo — útil para treinar): usar substituição u=\tan(t). Então du=\operatorname{sec}^2(t)\,dt. A integral torna-se
\int \operatorname{sec}^2(t)\,dt=\int du = u + C = \tan(t)+C,
confirmando o mesmo resultado.

Passo 6

Dica rápida para a prova: ao ver \dfrac{\operatorname{sec} t}{\cos t} pense "sec é 1/\cos", então geralmente vira 1/\cos^2, e aí reconhece-se \operatorname{sec}^2, que é a derivada de \tan. Respira fundo, faz a simplificação e resolve na hora.

Resposta

\tan(t)+C

Exercícios relacionados