Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do próprio enunciado):
- Dada a integral
. - Pede-se calcular essa integral indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva + constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado do numerador para ver termos que possamos simplificar facilmente.
Passo 3
Agora dividir cada termo por
(isto é, aplicar a propriedade de divisão termo a termo):
Portanto a integral fica
Passo 4
Regras básicas que vou usar (explicadas como numa aulinha rápida):
- Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
Exemplo simples:
.
- Regra do poder (power rule) para integrais: para um expoente
,
Por que isso vale? Porque ao derivar
obtemos
, então é uma primitiva. Exemplo:
.
Passo 5
Aplicar a linearidade e a regra do poder termo a termo à nossa integral:
Calcular cada uma:
-
, porque aqui e . -
, porque . -
, porque (note que aqui , então a fórmula vale).
Passo 6
Juntando os termos e adicionando a constante de integração
:
Opcionalmente reescrever o termo final com fração: