Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\left(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\bigl(1-\operatorname{sen}^2(x)\bigr)^2}\,dx.
Esse tipo de integral envolve uma função trigonométrica no denominador elevada ao quadrado. Para simplificar, vamos usar uma substituição que torne o denominador uma potência simples de uma variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \cos(x),
portanto
dt = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,dt.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
1-\operatorname{sen}^2(x)=\cos^2(x)=t^2,
então
\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\bigl(1-\operatorname{sen}^2(x)\bigr)^2}\,dx = \int \frac{-\,dt}{(t^2)^2} = -\int t^{-4}\,dt.
Agora integramos em t:
-\int t^{-4}\,dt = -\frac{t^{-3}}{-3} = \frac{t^{-3}}{3} = \frac{1}{3}\,t^{-3}.

Passo 4

Voltando à variável x, com t=\cos(x), obtemos
\frac{1}{3}\,t^{-3} = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cos^3(x)} = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^3(x).

Resposta

\int \frac{\operatorname{sen}(x)}{\bigl(1-\operatorname{sen}^2(x)\bigr)^2}\,dx = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^3(x) + C.

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