Seja uma função dada por tal
Se
, mostre que
é invertivel em
.
Se
Passo 1
O enunciado define a função
por
Queremos mostrar que
é invertível em
. Para isso, basta provar que ela é bijetiva, ou seja, injetiva e sobrejetiva. Usaremos cálculo diferencial para injetividade (via monotonicidade) e limites no infinito para sobrejetividade.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Como
para todo
e, portanto,
sempre, concluímos que
em
. Logo,
é estritamente crescente, o que implica que
é injetiva.
Passo 3
Para ver que
é sobrejetiva, avaliamos os limites:
Como
é contínua (polinomial) e varia de
a
, pelo Teorema do Valor Intermediário seu conjunto imagem é todo
. Portanto,
é sobrejetiva.
Resposta
A função
é estritamente crescente (injetiva) e atinge todos os valores em
(sobrejetiva). Assim,
é bijetiva e, consequentemente, invertível em
.