Seja uma função dada por tal
Se h(x)=x^{3}+x+1, mostre que h é invertivel em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define a função h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
h(x)=x^{3}+x+1.
Queremos mostrar que h é invertível em \mathbb{R}. Para isso, basta provar que ela é bijetiva, ou seja, injetiva e sobrejetiva. Usaremos cálculo diferencial para injetividade (via monotonicidade) e limites no infinito para sobrejetividade.

Passo 2

Calculamos a derivada de h:
h'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x+1\bigr)=3x^{2}+1.
Como 3x^{2}\ge0 para todo x e, portanto, 3x^{2}+1>0 sempre, concluímos que h'(x)>0 em \mathbb{R}. Logo, h é estritamente crescente, o que implica que h é injetiva.

Passo 3

Para ver que h é sobrejetiva, avaliamos os limites:
\lim_{x\to -\infty}h(x)=\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^{3}+x+1\bigr)=-\infty,
\lim_{x\to +\infty}h(x)=\lim_{x\to +\infty}\bigl(x^{3}+x+1\bigr)=+\infty.
Como h é contínua (polinomial) e varia de -\infty a +\infty, pelo Teorema do Valor Intermediário seu conjunto imagem é todo \mathbb{R}. Portanto, h é sobrejetiva.

Resposta

A função h(x)=x^{3}+x+1 é estritamente crescente (injetiva) e atinge todos os valores em \mathbb{R} (sobrejetiva). Assim, h é bijetiva e, consequentemente, invertível em \mathbb{R}.

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