Exemplo 3: Encontre a solução do sistema
x^{\prime}=4 x-3 y, \quad y^{\prime}=6 x-7 y
que satisfaz as condições iniciais
x(0)=2 e
y(0)=-1.
Solução: Se resolvermos a segunda equação para
x, obtemos
x=\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y
Assim,
x^{\prime}=\frac{1}{6} y^{\prime \prime}+\frac{7}{6} y^{\prime} .
Substituímos então estas expressões para x ex’ na primeira equação do sistema; isto fornece
\frac{1}{6} y^{\prime \prime}+\frac{7}{6} y^{\prime}=4\left(\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y\right)-3 y
a qual pode ser simplificada para
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-10 y=0
Esta equação de segunda ordem tem equação característica
r^{2}+3 r-10=0 \Rightarrow r_{1}=2 \text { e r }{ }_{2}=-5
Assim, sua solução geral é
y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t}.
Substituindo
y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t} e
y^{\prime}(t)=2 c_{1} e^{2 t}-5 c_{1} e^{-5 t} em
x=\frac{1}{6} y^{\prime}+\frac{7}{6} y, obtemos:
x(t)=\frac{1}{6}\left(2 c_{1} e^{2 t}-5 c_{1} e^{-5 t}\right)+\frac{7}{6}\left(c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t}\right)
isto é,
x(t)=\frac{3}{2} c_{1} e^{2 t}+\frac{c_{2}}{3} e^{-5 t}.
Deste modo,
x(t)=\frac{3}{2} c_{1} e^{2 t}+\frac{c_{2}}{3} e^{-5 t} e
y(t)=c_{1} e^{2 t}+c_{2} e^{-5 t} descrevem a solução geral do sistema dado. As condições iniciais dadas implicam que
x(0)=\frac{3 c_{1}}{2}+\frac{c_{2}}{3}=2 \text { e } y(0)=c_{1}+c_{2}=-1 \Rightarrow c_{1}=2 \text { e c } c_{2}=-3 .
Por isso, a solução desejada é
x(t)=3 e^{2 t}-e^{-5 t} \text { e } y(t)=2 e^{2 t}-3 e^{-5 t}