Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x}{x^{4}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x^{4}+x^{2}}\,dx.
Este é um caso de integral de função racional. Para resolver, vamos usar a técnica de decomposição em frações simples (frações parciais).

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando:
\frac{x}{x^{4}+x^{2}} =\frac{x}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{1}{x\,(x^{2}+1)}.
Fazendo a decomposição em frações simples, escrevemos
\frac{1}{x(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1)\), obtemos \[1 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)x = (A+B)x^{2}+C\,x+A.
Comparando coeficientes em x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} A+B = 0,\\\ C = 0,\\\ A = 1, \end{cases}
logo A=1\], \(B=-1 e C=0. Assim
\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto
\int \frac{x}{x^{4}+x^{2}}\,dx = \int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\ln\lvert x\rvert \;-\;\tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\;+\;C.}

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