Calcule as seguintes integrais:
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{5} x d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{5}x\,dx.
Informações dadas:
\displaystyle o integrando é \tan^{5}x e os limites de integração são x=\frac{\pi}{6} (limite inferior) e x=\frac{\pi}{4} (limite superior).
Não há outras restrições: ambas as funções \tan e \cos são bem definidas nesses pontos, então podemos proceder normalmente.

Passo 2

Estratégia e identidade básica que usamos (sem resolver ainda): usar a identidade trigonométrica
\tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x,
para escrever \tan^{5}x como produto envolvendo \operatorname{sec}^{2}x. A ideia é separar um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx porque ele é a derivada de \tan x, então a substituição u=\tan x vai simplificar a integral. Agora fazemos isso explicitamente.

Passo 3

Reescrever o integrando e separar a integral:
\tan^{5}x=\tan^{3}x\cdot\tan^{2}x=\tan^{3}x\cdot(\operatorname{sec}^{2}x-1).
Logo
\int \tan^{5}x\,dx=\int \tan^{3}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int \tan^{3}x\,dx.
Agora tratamos cada parcela. Para a primeira parcela fazemos a substituição natural u=\tan x. Explicando a substituição: se u=\tan x então du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Portanto
\int \tan^{3}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}=\frac{\tan^{4}x}{4}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda parcela \int \tan^{3}x\,dx. Primeiro reescrevemos
\tan^{3}x=\tan x\cdot\tan^{2}x=\tan x\cdot(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x-\tan x.
Portanto
\int \tan^{3}x\,dx=\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx-\int \tan x\,dx.
Na primeira integral fazemos novamente u=\tan x, com du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, obtendo
\int \tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\int u\,du=\frac{u^{2}}{2}=\frac{\tan^{2}x}{2}.
Na segunda integral usamos que
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
e uma substituição simples v=\cos x (ou lembrando a primitiva conhecida) dá
\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|.
Assim
\int \tan^{3}x\,dx=\frac{\tan^{2}x}{2}+ \ln|\cos x| + C.
(Observe o sinal: -\int \tan x\,dx = -(-\ln|\cos x|)=+\ln|\cos x|.)

Passo 5

Juntando os resultados das parcelas (Passo 3 e Passo 4) obtemos a primitiva geral da integranda:
\int \tan^{5}x\,dx=\frac{\tan^{4}x}{4}-\left(\frac{\tan^{2}x}{2}+\ln|\cos x|\right)+C.
Simplificando,
\int \tan^{5}x\,dx=\frac{\tan^{4}x}{4}-\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\cos x|+C.
Esse é o antiderivado que vamos avaliar nos limites.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites \frac{\pi}{6} e \frac{\pi}{4}. Definimos
F(x)=\frac{\tan^{4}x}{4}-\frac{\tan^{2}x}{2}-\ln|\cos x|.
Calculamos F em cada ponto:
Para x=\frac{\pi}{4} temos \tan\frac{\pi}{4}=1 e \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. Logo
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{2}}{2}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =-\frac{1}{4}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Observando \frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2} temos \ln\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\tfrac{1}{2}\ln 2. Portanto
F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln 2.
Para x=\frac{\pi}{6} temos \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}} (ou \frac{\sqrt{3}}{3}) e \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Então
\tan^{2}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3},\qquad \tan^{4}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{9},
e
F\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1/9}{4}-\frac{1/3}{2}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Calculando a parte racional \frac{1}{36}-\frac{1}{6}=\frac{1-6}{36}=-\frac{5}{36}. E \ln\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln 3-\ln 2. Então
F\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{5}{36}-\left(\frac{1}{2}\ln 3-\ln 2\right).

Passo 7

A integral definida é F\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-F\!\left(\frac{\pi}{6}\right). Substituindo os valores:
\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{5}x\,dx &= \Big(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln 2\Big) -\Big(-\frac{5}{36}-\big(\tfrac{1}{2}\ln 3-\ln 2\big)\Big)\\[4pt] &= -\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln 2 +\frac{5}{36}+\frac{1}{2}\ln 3-\ln 2. \end{aligned}
Agrupando a parte racional:
-\frac{1}{4}+\frac{5}{36}=-\frac{9}{36}+\frac{5}{36}=-\frac{4}{36}=-\frac{1}{9}.
Agrupando os logaritmos:
\frac{1}{2}\ln 2 - \ln 2 +\frac{1}{2}\ln 3 = -\frac{1}{2}\ln 2 +\frac{1}{2}\ln 3 = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Portanto o resultado final é
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{5}x\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{9}.]

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right)-\tfrac{1}{9}

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