Calcule as seguintes integrais:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas:
o integrando é
e os limites de integração são
(limite inferior) e
(limite superior).
Não há outras restrições: ambas as funções e
são bem definidas nesses pontos, então podemos proceder normalmente.
Não há outras restrições: ambas as funções
Passo 2
Estratégia e identidade básica que usamos (sem resolver ainda): usar a identidade trigonométrica
para escrever
como produto envolvendo
. A ideia é separar um fator
porque ele é a derivada de
, então a substituição
vai simplificar a integral. Agora fazemos isso explicitamente.
Passo 3
Reescrever o integrando e separar a integral:
Logo
Agora tratamos cada parcela. Para a primeira parcela fazemos a substituição natural
. Explicando a substituição: se
então
. Portanto
Passo 4
Agora calculamos a segunda parcela
. Primeiro reescrevemos
Portanto
Na primeira integral fazemos novamente
, com
, obtendo
Na segunda integral usamos que
e uma substituição simples
(ou lembrando a primitiva conhecida) dá
Assim
(Observe o sinal:
.)
Passo 5
Juntando os resultados das parcelas (Passo 3 e Passo 4) obtemos a primitiva geral da integranda:
Simplificando,
Esse é o antiderivado que vamos avaliar nos limites.
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
. Definimos
Calculamos
em cada ponto:
Para
temos
e
. Logo
Observando
temos
. Portanto
Para
temos
(ou
) e
. Então
e
Calculando a parte racional
. E
. Então
Passo 7
A integral definida é
. Substituindo os valores:
Agrupando a parte racional:
Agrupando os logaritmos:
Portanto o resultado final é