Chama-se de série harmônica toda série cuja sequência do inverso de seu termos formam uma progressão aritmética, ou seja, toda série da forma
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a+(n-1) r}
onde a e r são constantes, com r \neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a família de séries
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a+(n-1)r}
com a e r constantes e r\neq 0. A pergunta implícita que vou responder é: essa série converge ou diverge? Vou listar as informações relevantes que o enunciado dá ou implica:
  • A fórmula geral do termo geral é \dfrac{1}{a+(n-1)r}.
  • Está explícito que r\neq 0.
  • Para a série fazer sentido todos os denominadores devem ser diferentes de zero; ou seja, se existir algum n\in\mathbb{N} tal que a+(n-1)r=0, então a série não está definida (tem um termo infinito).
  • Queremos decidir a convergência (soma finita) ou divergência da série quando ela estiver bem definida.

Passo 2

Primeiro verificamos quando a série está bem definida (nenhum denominador zero). A condição para um denominador nulo é
a+(n-1)r=0.
Se isso ocorrer para algum n\in\mathbb{N}, então a série tem um termo indefinido e não faz sentido somá-la. Vamos resolver essa equação para n:
n=1-\frac{a}{r}.
Logo, se 1-\dfrac{a}{r} for um inteiro natural (isto é, um n\ge1 inteiro), então existe um termo com denominador zero e a série não está definida. Se isso não ocorre, todos os denominadores são finitos e a série está bem definida.

Passo 3

Agora, supondo que a série esteja bem definida (nenhum denominador nulo), vamos estudar o comportamento para n grande. Observe que o denominador é uma função afim de n:
a+(n-1)r = r n + (a-r).
Para n grande esse denominador cresce em módulo de forma aproximadamente proporcional a n (porque a parte linear r n domina). Isto sugere que os termos da série têm ordem de grandeza semelhante a 1/n quando n\to\infty.

Passo 4

Para tornar isso rigoroso usamos o teste da comparação por limite (limit comparison test). Tomamos a sequência positiva
b_n=\frac{1}{n},
cuja série \sum_{n=1}^\infty b_n é a série harmônica e sabemos que diverge. Consideramos os módulos dos termos da nossa série:
|a_n|=\left|\frac{1}{a+(n-1)r}\right|=\frac{1}{|a+(n-1)r|}.
Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{|a+(n-1)r|}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{|a+(n-1)r|}.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{|r n + (a-r)|} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{|r + \tfrac{a-r}{n}|} = \frac{1}{|r|},
pois \dfrac{a-r}{n}\to 0. Como r\neq 0, esse limite é um número finito e positivo:
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{b_n}=\frac{1}{|r|}\in(0,+\infty).

Passo 5

Pelo teste da comparação por limite (que diz: se b_n>0 e \lim |a_n|/b_n\in(0,\infty), então \sum |a_n| e \sum b_n têm a mesma natureza — ambas convergem ou ambas divergem), concluímos que a série dos módulos \sum_{n=1}^\infty |a_n| diverge porque \sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty 1/n diverge. Ou seja, a nossa série não é absolutamente convergente.

Passo 6

Precisamos agora ver se é possível que a série seja condicionalmente convergente (não absolutamente, mas convergente quando levado em conta o sinal dos termos). Para haver convergência condicional pelo teste de Leibniz (série alternada convergente), seria necessário que os sinais dos termos alternassem indefinidamente e que os módulos dos termos fossem monótonos decrescentes para 0. No nosso caso, a sequência a+(n-1)r é afim: seu sinal só pode mudar no máximo uma vez (quando passa por zero). Portanto, os termos da série podem trocar de sinal no máximo uma vez; depois de certo ponto todos os termos têm o mesmo sinal. Assim não há alternância infinita de sinais; a partir de algum N todos os termos têm sinal constante. Se a partir de N os termos têm sinal constante e seus módulos formam uma série divergente, a soma a partir de N também diverge. Portanto não há convergência condicional possível.

Passo 7

Resumindo os argumentos: (i) se algum denominador for zero a série é indefinida; (ii) caso contrário, os termos têm módulo assintoticamente proporcional a 1/n e, pelo teste da comparação por limite, a série dos módulos diverge; (iii) como os sinais não alternam indefinidamente, não há convergência condicional. Logo, quando a série está bem definida ela diverge.

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar:
  • a=1,\\ r=1 \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, a clássica série harmônica — diverge.
  • a=2,\\ r=3 \sum \dfrac{1}{2+3(n-1)}. Denominador cresce linearmente; a série diverge pelo mesmo raciocínio.
  • a=1,\\ r=-1 dá termo n=2 com denominador 0, a série é indefinida (não faz sentido).
  • a=5,\\ r=-2 não há denominador zero para n\in\mathbb{N}, mas os denominadores têm módulo que cresce como 2n em módulo, logo a série também diverge.

Passo 9

Dica prática para a prova (passo a passo que você pode seguir rapidamente):
  1. Verifique se existe n\in\mathbb{N} com a+(n-1)r=0. Se sim, a série é indefinida.
  2. Se não, aplique o teste da comparação por limite com 1/n: calcule \lim_{n\to\infty} n/(a+(n-1)r) (ou com módulo). Se o limite for um número finito e não nulo (aqui será 1/r ou 1/|r|), então a série tem a mesma natureza da série harmônica e, portanto, diverge.
  3. Conclua rapidamente: diverge (não há convergência condicional porque o sinal não alterna indefinidamente).

Resposta

A série diverge (não converge), exceto no caso em que existe n\in\mathbb{N} tal que a+(n-1)r=0, caso em que a série é indefinida (tem termo com denominador zero).

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